一试训练题

解答

定义域由 $8x-x^2\ge 0$ 得 $[0,8]$。由 $8x-x^2=16-(x-4{)}^2$，令 $x=4+4\cos \theta$，$\theta \in [0,\pi ]$，则 $\sqrt{8x-x^2}=4\sin \theta$（$\sin \theta \ge 0$）。于是 $f=4\sin \theta -4\cos \theta -4=4\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)-4$。$\theta -\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$，$\sin$ 在此取遍 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$，所以 $f$ 取遍 $\left[-8,4\sqrt{2}-4\right]$。最小值在 $\theta =0$（$x=8$），最大值在 $\theta =\frac{3\pi }{4}$（$x=4-2\sqrt{2}$）。故值域为 $\boxed{\left[-8,4\sqrt{2}-4\right]}$。