2014 年中科大少年班初试 · 第 7 题

解答

令 $u=x/n\le 1$，目标等价于 $[(1-u)e^u{]}^n\ge 1-n{u}^2$。若 $x^2\ge n$，右侧非正，左侧非负，直接成立。否则 $|u|<1/\sqrt{n}\le 1$，从 $e^u\ge 1+u$ 和 $1-u\ge 0$ 得 $(1-u)e^u\ge 1-u^2>0$。取正整数次幂，再用Bernoulli不等式，得 $[(1-u)e^u{]}^n\ge (1-u^2{)}^n\ge 1-n{u}^2$，从而 $\boxed{n-n(1-x/n{)}^n{e}^x\le x^2}$。