2013 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

（1）写 $A=(u,ku),B=(v,-kv)$，同在纵轴一侧给 $uv>0$。距离乘积为 $(1+k^2)|uv|=1+k^2$，所以 $uv=1$。中点 $M=(x,y)=((u+v)/2,k(u-v)/2)$，于是 $x^2-y^2/k^2=uv=1$。反过来取 $u=x+y/k,v=x-y/k$，即有 $uv=1$ 且两者同号，故全轨迹是 $\boxed{x^2-y^2/k^2=1}$。（2）与 $x^2=2py$ 联立得到 $y^2-2p{k}^{2}y+k^2=0$。相切要求重根，所以 $pk=1$；此时 $y=k,x=\pm \sqrt{2}$。两个切点分别在定直线 $\boxed{x=\sqrt{2},x=-\sqrt{2}}$ 上。由抛物线切点式，切线为 $\boxed{y=\pm \sqrt{2}kx-k}$，也与双曲线切点式相同。