培玉 · 一试
2024 年广东预赛
F4填空题立体几何综合
已知四面体 ，点 在 内，满足
在线段 上，直线 交平面 于点 ，且
则四面体 与 的体积之比为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
仿射变换保持共线分点比、同平面面积比和空间体积比。重心坐标是对顶点的分面积比例；四面体体积为三条共顶点向量行列式绝对值的六分之一。
想法从哪来：条件只有面内面积比、直线分点比与体积比，没有角度和绝对长度，提示把四面体先变成最简单的坐标模型。用三个坐标轴上的标准顶点表示后，A1的三个坐标就是其在对面三角形中的面积权重，但要按对顶点对应，不能按题目面积出现顺序直接照抄。再用AG占整段的比例表示G，直线PG与底面相交只需把第三坐标置零。题给的两个比因此变成一个一元方程。求出合法内分参数后，最后的体积比用三向量行列式一次计算，仍须检查题目要求的是原体积除新体积。
用仿射坐标表示面内面积比与线段分点比，最后以行列式求体积比。
解答
仿射变换不改变面积比、共线分点比和体积比，可取
由 在 内的三个分面积之比，得
设 ，则 ，且
在线段射线 上写 。由 的第三坐标为零，
所以 依次共线，且
题设给出
故 ，进而
于是
因此所求体积之比为 。
复核
三个面内重心坐标依次为 ，和为 ；所得 确实位于 。
方法总结
四面体中的面积比、共线分点比和体积比都是仿射不变量，选标准四面体后可统一用重心坐标和行列式计算。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
要把面内分面积转为重心坐标，再通过两条不同线段比解空间交点，最后正确计算目标四面体体积比。
已记下，谢谢！