培玉 · 一试

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数列的和

从这里开始

从前缀恢复通项，首项单独查

相邻前缀作差时保留指标范围，单独验证首项；遇到加权前缀，先辨认差分抽出的是哪一项。

四题目标训练：先试一题 → 换条件应用 → 辨析条件差异 → 换题验证。

开始四题目标训练

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

互动实验：阿贝尔分部求和与面积对偶

数列求和先核清指标与符号，再决定恢复通项、裂项、错位相减、分组或分部求和。大下标并不意味着要算出每一项：求整数部分时，首尾余项的严格界常比完整通项更有用。涉及无穷和或换序，须先确认收敛；每次约去公差、公比或首项前，也要单查零值与特殊参数。

1. 先修与破题直觉：求和之前先写清首末下标和项数。 $\sum_{k = 3}^{7} k$ 共 $7 - 3 + 1 = 5$ 项，和为 $25$ 。裂项 $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ 从 $1$ 求到 $N$ ，中间全部相消，只剩 $1 - \frac{1}{N + 1}$ 。

2. 核心条件辨析：有限等比和公式要求 $q \neq = 1$ ，无穷等比和还要求 $∣ q ∣ < 1$ ；跨步为 $2$ 的裂项首尾各留两项；错位相减时，末项的符号来自 $- q S_{n}$ ；Abel 变换中 $U_{k}$ 的系数是 $a_{k} - a_{k + 1}$ ；重排或换序无穷和之前，先确认绝对收敛：只条件收敛的级数换序后和可能改变（Riemann 重排定理）。

3. 典型误区对比：先读跨步裂项只留一项、错位相减末项符号、Abel 公式差分方向三组红绿卡，再做自测。每次裂项后，写出前两项和后两项，看清剩下哪些。

4. 方法迁移带练：跨步为 $3$ 的裂项： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 3 )} = \frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3})$ ，首尾各留三项； $n = 1$ 时右边为 $\frac{1}{4}$ ，与直接计算相同。错位相减： $\sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ ， $n = 3$ 时为 $2 + 8 + 24 = 34$ 。

5. 分级真题实战：先练“相邻前缀作差恢复通项”和“裂项、连乘与递推相消”，再练“等差乘等比的错位差分”“奇偶配对与交错求积”；之后进入“半整数边界分组计数”“离散分部求和与部分和变量”，最后挑战“保留余项的整数夹逼与有限和界”和“无穷和、绝对值和与合法换序”。

先修（培玉高中数学）：数列的概念等差数列等比数列数学归纳法（选学）基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式

知识要点

求和区间和空和先写清

规定 $S_{0} = 0$ 后，前缀差 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 对 $n \geq 1$ 成立。区间和有 $N - M + 1$ 项，前提是 $M \leq N$ ；若采用空和约定， $M > N$ 时和为零。例： $\sum_{k = 3}^{5} k = 12$ ，而 $\sum_{k = 3}^{2} k = 0$ 。展开式的有效项数仍须按题意确认，不能把未明确的指标范围自行改写。

有限等比和与无穷和的前提不同

前 $N \geq 1$ 项首项为 $a$ 、公比为 $q$ 时， $q \neq = 1$ 的有限和为 $a (1 - q^{N}) / (1 - q)$ ； $q = 1$ 时另取 $N a$ 。按递推允许 $q = 0$ 时，直接核首项后其余项为零。例：首项 $3$ 、四项时，公比 $2, 1, 0$ 分别给和 $45, 12, 3$ 。非零首项的无穷几何级数只在 $∣ q ∣ < 1$ 收敛；若题目还排除零公比或允许零列，须保留该额外约定。

部分和作差可以恢复末项

若给 $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k a_{k}$ ，则 $T_{n} - T_{n - 1} = n a_{n}$ ；恢复通项时要另核首项是否符合，不能假设给定式在零指标也有效。例： $T_{n} = n (n + 1)$ 且 $T_{0} = 0$ ，相减得到 $n a_{n} = 2 n$ ，因此所有 $a_{n} = 2$ 。若给的是无权前缀，就不应再除以指标 $n$ 。

裂项后的首尾比中间相消更重要

找到 $u_{k} = v_{k} - v_{k + 1}$ 后，当 $M \leq N$ 时有 $\sum_{k = M}^{N} u_{k} = v_{M} - v_{N + 1}$ ，尾指标会多一。例： $1/ [k (k + 2)] = (1/ k - 1/ (k + 2)) /2$ ，从 $1$ 求到 $N$ 留下两端各两项； $N = 3$ 时总和为 $(1 + 1/2 - 1/4 - 1/5) /2 = 21/40$ 。分母为零的项与空区间必须在裂项前就处理。

多项式乘等比项用离散差分降次

将和式乘以公比再错位相减，可降低多项式权重的次数。对 $r \neq = 1$ 、 $N \geq 1$ ，有 $\sum_{k = 1}^{N} k r^{k} = r [1 - (N + 1) r^{N} + N r^{N + 1}] / (1 - r)^{2}$ 。例： $N = 3, r = 2$ 时为 $2 + 8 + 24 = 34$ ； $r = 1$ 则另用 $N (N + 1) /2$ 。有限公式可用于 $∣ r ∣ \geq 1$ ，不能由此擅取无穷和。

交错和先配对，奇数项保留末项

若和的符号随指标奇偶交替，先按两项一组相减，再补可能剩下的最后一项。例：对非负整数 $m$ ， $\sum_{k = 1}^{2 m} (- 1)^{k - 1} k^{2} = - m (2 m + 1)$ ；到 $2 m + 1$ 项则为 $(m + 1) (2 m + 1)$ 。 $m = 2$ 分别给 $- 10$ 和 $15$ 。偶数项公式在 $m = 0$ 对应空和，奇数项公式在 $m = 0$ 对应单项，二者起点不同。

Abel变换（分部求和公式）与阿贝尔不等式

对 $N \geq 1$ ，设前缀和 $U_{k} = \sum_{j = 1}^{k} u_{j}$ （规定 $U_{0} = 0$ ），利用 $u_{k} = U_{k} - U_{k - 1}$ 移位重排可得 Abel变换（分部求和公式）：

k = 1 \sum N a_{k} u_{k} = a_{N} U_{N} + k = 1 \sum N - 1 (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k} = a_{N} U_{N} - k = 1 \sum N - 1 (Δ a_{k}) U_{k},

其中向前差分 $Δ a_{k} = a_{k + 1} - a_{k}$ ；对一般区间 $1 \leq M \leq N$ ，首尾边界项为 $\sum_{k = M}^{N} a_{k} u_{k} = a_{N} U_{N} - a_{M} U_{M - 1} + \sum_{k = M}^{N - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}$ 。若权重非负单调递减 $a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{N} \geq 0$ 且前缀和满足 $m \leq U_{k} \leq M$ （ $1 \leq k \leq N$ ），因系数 $(a_{1} - a_{2}), \dots, (a_{N - 1} - a_{N}), a_{N}$ 均非负且总和恰为 $a_{1}$ ，遂得阿贝尔不等式 $a_{1} m \leq \sum_{k = 1}^{N} a_{k} u_{k} \leq a_{1} M$ （特别地 $\sum_{k = 1}^{N} a_{k} u_{k} \leq a_{1} max_{1 \leq k \leq N} ∣ U_{k} ∣$ ）。例： $u = (1, - 1, 2)$ 、权重 $a = (3, 2, 1)$ ，前缀 $U = (1, 0, 2)$ ，左端 $3 - 2 + 2 = 3$ ，右端 $1 \times 2 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 3$ 。若权重正且递减、前缀非负，就能得非负性；严格正性还须指出至少一个严格正项，不能只由非负推出。

分组取整与近似界必须跨不过分界

按最接近整数分组时，要用半整数边界精确计数。例：与 $n$ 最近的整数为 $m \geq 1$ ，当且仅当 $m^{2} - m + 1 \leq n \leq m^{2} + m$ ，每组有 $2 m$ 项；前两组到 $n = 6$ 的和为 $2 + 8 = 10$ 。求整数部分需夹在同一整数区间；求最近整数则要核半整数界与并列规则，截断小数不能代替严格界。

方法卡

前缀和不是通项：相邻相减后核首项

前缀和 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ 与通项之间满足 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 。有权前缀 $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} w_{k} a_{k}$ 则相减得到 $w_{n} a_{n}$ ，还要除以非零权重。

完整讲解 · 例题 · 可练 16 题

一、是什么

为什么必须核 $n = 1$

给定表达式也许只对 $n \geq 1$ 成立，不能默认表达式在 $0$ 的值等于空和 $0$ 。首项直接用 $a_{1} = S_{1}$ ；后续用差分公式。

前缀里仍有末项

如 $S_{n} = 3 a_{n} - 2$ ，相减得 $a_{n} = 3 a_{n} - 3 a_{n - 1}$ ，从而 $a_{n} = 3 a_{n - 1} /2$ 。这是新的一阶递推，首项仍由原式确定。求出后回代整个前缀。

权重不能漏

$T_{n} = \sum k a_{k}$ 时， $T_{n} - T_{n - 1} = n a_{n}$ 。若是指数权重 $2^{k}$ ，相邻差也只留下 $2^{n} a_{n}$ ；先消前缀，再处理权重，顺序不能省。

先看一道例题

例 1：首项是例外

$S_{n} = n^{2} + 2$ （ $n \geq 1$ ），求 $a_{n}$ 。

怎么看出来：

公式不能直接用于 $S_{0}$ 。

解：

$a_{1} = S_{1} = 3$ 。 $n \geq 2$ 时 $a_{n} = n^{2} + 2 - ((n - 1)^{2} + 2) = 2 n - 1$ 。回查 $3 + \sum_{k = 2}^{n} (2 k - 1) = n^{2} + 2$ 。

答案：

$a_{1} = 3$ ； $n \geq 2$ 时 $a_{n} = 2 n - 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知 $S_{n}$ 求 $a_{n}$	先查首项，再相减
前缀公式含 $a_{n}$	相减后解递推
有 $k a_{k}$ 或指数权	差分后除对应权重

三、怎么用

明确前缀公式的有效下标。
用原式求首项。
相减恢复通项，保留权重。
累加回查原前缀。

四、再做一道

例 2：加权前缀

$\sum_{k = 1}^{n} k a_{k} = n (n + 1)$ ，求 $a_{n}$ 。

怎么看出来：

相减留下的是 $n a_{n}$ 。

解：

$a_{1} = 2$ 。 $n \geq 2$ 时 $n a_{n} = n (n + 1) - (n - 1) n = 2 n$ ，故 $a_{n} = 2$ 。回查 $2 \sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1)$ 。

答案：

所有 $a_{n} = 2$ 。

五、容易错在哪

差分公式在首项可能需要单列，不能强行延拓给定表达式。
带权前缀的差不是 $a_{n}$ ，而是 $w_{n} a_{n}$ 。

真题

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裂成相邻差或比，先看能否全部抵消

裂项是把一项写成较简单的几项之差。相邻差累加后，中间项两两抵消；相邻比连乘后同样可只留首尾。必须先确定分母不为零。

完整讲解 · 例题 · 可练 34 题

一、是什么

间隔为一

$1/ (k (k + 1)) = 1/ k - 1/ (k + 1)$ 。求和时只留第一项 $1$ 和最后负项 $- 1/ (n + 1)$ 。先写前两项和最后两项，最容易看清指标。

间隔不为一

$1/ (k (k + 2)) = \frac{1}{2} (1/ k - 1/ (k + 2))$ ，这时首端留下两项，末端也留下两项，系数 $1/2$ 不能漏。

连乘与递推

$\prod_{k = 1}^{n} (k + 1) / k = n + 1$ ，因为分子分母错一位。若递推直接给出 $a_{k + 1} / a_{k}$ ，也可连乘，但要有 $a_{k} \neq = 0$ ，不能在可能为零的数列上直接约去。

先看一道例题

例 1：间隔二留下四端项

求 $\sum_{k = 1}^{3} 1/ (k (k + 2))$ 。

怎么看出来：

裂成间隔二的倒数差。

解：

和为 $\frac{1}{2} (1 + 1/2 - 1/4 - 1/5) = 21/40$ 。直接相加 $1/3 + 1/8 + 1/15 = (40 + 15 + 8) /120 = 21/40$ ，吻合。

答案：

$21/40$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
分母是相差固定数的两因子	试两倒数之差
乘积中相邻项差一个指标	展开看能否连乘相消
递推涉及倒数差	先把目标写成同一差式

三、怎么用

确认所有分母非零。
用通分核对裂项系数。
展开头尾，数清保留几项。
代一个小指标核结果。

四、再做一道

例 2：连乘只留两端

求 $\prod_{k = 1}^{4} (k + 2) / (k + 1)$ 。

怎么看出来：

相邻分子分母相同。

解：

原式 $= (3/2) (4/3) (5/4) (6/5) = 6/2 = 3$ ，各分母均为正。

答案：

$3$ 。

五、容易错在哪

间隔是二时不能只留一个首项和一个末项。
分式裂项要通分核系数；连乘约分要核非零。

真题

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多项式乘等比：错位相减，次数降一

求 $\sum P (k) q^{k}$ 时， $P (k)$ 是多项式。把和乘公比 $q$ ，错一位后相减，中间出现 $P (k) - P (k - 1)$ ，次数降低。 $q = 1$ 要另用普通多项式求和。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

错位要写末端

$S = \sum_{k = 1}^{n} k q^{k}$ ，则 $(1 - q) S = q + \sum_{k = 2}^{n} q^{k} - n q^{n + 1}$ 。开头来自第一项，末端来自 $qS$ 的最后一项，不能丢。

差分为何降次

$(k + 1)^{d} - k^{d}$ 的最高次 $k^{d}$ 抵消，剩下次数至多 $d - 1$ 。所以二次乘等比可重复错位两次。也可猜 $F (n) = Q (n) q^{n} + C$ ，通过 $F (n) - F (n - 1) = P (n) q^{n}$ 和起始值定系数。

有限和不必谈收敛

有限项错位对任意实数 $q$ 都有意义；只有要用无穷等比和时才需 $∣ q ∣ < 1$ 。含 $(1 - q)$ 分母的闭式不能直接代 $q = 1$ 。

先看一道例题

例 1：一次多项式乘二的幂

求 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k 2^{k}$ 。

怎么看出来：

乘二后错位。

解：

$S_{n} - 2 S_{n} = 2 + \sum_{k = 2}^{n} 2^{k} - n 2^{n + 1} = 2^{n + 1} - 2 - n 2^{n + 1}$ ，故 $S_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ 。 $n = 1$ 得 $2$ ； $n = 3$ 得 $34 = 2 + 8 + 24$ 。

答案：

$(n - 1) 2^{n + 1} + 2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
通项是 $k q^{k}$	乘 $q$ 错位相减
是 $k^{2} q^{k}$	相减后再处理一次
候选闭式已猜到	验证相邻差和初值

三、怎么用

明确首末指标和公比。
乘公比，把下标对齐。
相减降低多项式次数，保留末项。
核起始值；公比为一单列。

四、再做一道

例 2：公比等于一

求 $\sum_{k = 1}^{5} k \cdot 1^{k}$ ，并说明为何不能在错位相减后除以 $1 - q$ 。

怎么看出来：

此时就是等差和。

解：

和为 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 。 $q = 1$ 时两份错位和相同， $1 - q = 0$ ，不能除；应直接用等差求和。

答案：

$15$ 。

五、容易错在哪

错位后出现的新末项必须保留。
有限求和可以处理 $∣ q ∣ \geq 1$ ，但无穷和公式不可以。

真题

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交错求和：相邻两项配对，按项数奇偶分开写

正负交替的和，先把相邻两项配成一对。总项数是偶数时刚好配完；是奇数时会剩下一项，要单独加上，所以结果要按奇偶分开写。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

怎么看符号

$(- 1)^{n}$ 在 $n$ 为偶数时是 $1$ ，为奇数时是 $- 1$ 。 $(- 1)^{n + 1}$ 正好相反，第 1 项为正。所以写 $1 - 2 + 3 - 4 + \dots$ 时，通项是 $a_{n} = (- 1)^{n + 1} n$ 。动手前先写前 2 项，确认第 1 项的符号。

配对和余项

前 $n$ 项的和记作 $S_{n}$ 。 $n$ 为偶数时，所有项恰好配成 $\frac{n}{2}$ 对； $n$ 为奇数时，配成 $\frac{n - 1}{2}$ 对，还剩最后一项。例如 $2 - 5 + 8 - 11 + 14$ ：前 4 项配成 2 对，每对 $- 3$ ，共 $- 6$ ，再加上余下的 $14$ ，得 $8$ 。

每对不是常数时，再求一次和

配对后每对的值可能随位置变化，这时要再做一次求和。例如 $1 \cdot 2 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 4 \cdot 5 + \dots$ ：第 $k$ 对是 $(2 k - 1) \cdot 2 k - 2 k (2 k + 1) = 2 k \cdot (- 2) = - 4 k$ 。前 2 对是 $- 4 - 8 = - 12$ ，与直接计算 $2 - 6 + 12 - 20 = - 12$ 一致。平方的配对同样可以用平方差： $(2 k - 1)^{2} - (2 k)^{2} = - (4 k - 1)$ 。

等差和：首尾配对

把 $1 + 2 + \dots + m$ 再倒着写一遍并相加，每一列都是 $m + 1$ ，共 $m$ 列，所以和是 $\frac{m ( m + 1 )}{2}$ 。一般地，相邻两项的差都相同的若干项（等差数列），它们的和等于“（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2”。例如 $1 + 3 + \dots + 19$ 有 $10$ 项，和是 $\frac{( 1 + 19 ) \cdot 10}{2} = 100$ 。

先看一道例题

例 1：由和反求项数

$S_{n} = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots + (- 1)^{n + 1} n$ 。若 $S_{n} = 15$ ，求 $n$ 。

怎么看出来：

正负交替，每对是 $- 1$ 。偶数项数时和为负，奇数项数时和为正。

解：

$n = 2 m$ 时有 $m$ 对，每对 $- 1$ ，所以 $S_{n} = - m = - \frac{n}{2}$ 。它小于 $0$ ，不可能等于 $15$ 。 $n = 2 m + 1$ 时再加上余项 $2 m + 1$ ， $S_{n} = - m + 2 m + 1 = m + 1 = \frac{n + 1}{2}$ 。令 $\frac{n + 1}{2} = 15$ ，得 $n = 29$ ，确实是奇数。检查： $S_{28} = - 14$ ， $S_{29} = - 14 + 29 = 15$ 。

答案：

$n = 29$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
符号正负交替，如 $(- 1)^{n}$	相邻两项配对，按总项数奇偶分开写
求和结果要反求项数 $n$	把奇偶两个公式都写出，分别解，再看解的奇偶是否相符
给出相邻两项之和 $a_{n} + a_{n + 1}$	偶数项数时按对分组求和；奇数项数时还要知道首项或另一个确定的项，再用 $a_{n + 2} - a_{n}$ 推出余下的一项（见进阶“奇偶项分开”）
$cos nπ$ ， $n$ 为整数	换成 $(- 1)^{n}$ （见进阶“三角写法”）
流程图里奇数次加、偶数次减	列表写出前几轮，再看退出时的值（见进阶“流程图”）
交错的对数和	合成一个对数，看分子分母能否约掉（见进阶“对数求积”）
$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots$ 这类和的上下界	比较奇数列和偶数列的方向（见进阶“交错调和和”）
距两端相同位置的项之和不变	首尾配对，留意中间项（见进阶“首尾配对”）
奇偶下标的项有不同规律	按下标奇偶拆成两组（见进阶“分组递推”）
周期数列的和，或带绝对值的和	分块；找变号的位置（见进阶“周期与绝对值”）

三、怎么用

写出前几项，确认第 1 项的符号。例如 $a_{n} = (- 1)^{n + 1} (3 n - 1)$ ： $2, - 5, 8, - 11, 14, \dots$ 。
算一对的和，看它是不是常数。第 $k$ 对是 $a_{2 k - 1} + a_{2 k} = (6 k - 4) - (6 k - 1) = - 3$ 。
写偶数项数的公式。 $n = 2 m$ 时有 $m$ 对， $S_{2 m} = - 3 m$ 。
写奇数项数的公式，加上余下的一项。 $n = 2 m + 1$ 时 $S_{2 m + 1} = - 3 m + a_{2 m + 1} = - 3 m + (6 m + 2) = 3 m + 2$ 。
代入最小的项数检查。 $m = 2$ 时 $S_{4} = - 6$ ， $S_{5} = 8$ ，与 $2 - 5 + 8 - 11 + 14 = 8$ 一致； $m = 0$ 时 $S_{1} = 2$ ，也对。

四、再做一道

例 2：只知道相邻两项的和

数列满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n$ 。求前 $21$ 项的和。

怎么看出来：

$21$ 是奇数，前 $20$ 项正好两两配对，已知条件就是每对的和。最后一项要单独求。

解：

配对： $(a_{1} + a_{2}) + (a_{3} + a_{4}) + \dots + (a_{19} + a_{20}) = 4 (1 + 3 + \dots + 19)$ 。括号里有 $10$ 项，和是 $\frac{( 1 + 19 ) \cdot 10}{2} = 100$ ，所以这部分是 $400$ 。再求 $a_{21}$ ：由 $a_{n} + a_{n + 1} = 4 n$ 和 $a_{n + 1} + a_{n + 2} = 4 n + 4$ 相减，得 $a_{n + 2} - a_{n} = 4$ ，所以奇数项每次加 $4$ ， $a_{21} = 2 + 10 \cdot 4 = 42$ 。总和是 $400 + 42 = 442$ 。检查：前几项是 $2, 2, 6, 6, 10, 10$ ，相邻两项的和依次是 $4, 8, 12, 16, 20$ ，符合 $4 n$ 。

答案：

$442$ 。

五、容易错在哪

项数是奇数时，不是所有项都能配对，要加上余下的那一项。
第 1 项的符号决定每一对的写法，错一位，所有结果都会变号。动手前先写前 2 项。
由和反求项数时，解出的 $n$ 要回头看奇偶是否和所用的公式相符；不相符就要舍去。
循环结束时，计数变量可能已经多加了一次，它不一定是最后参加运算的值。
带绝对值的和要逐段按正负计算，不能先求普通和再取绝对值。

$S_{3 q} = 2 q$ ， $S_{3 q + 1} = 2 q + 1$ ， $S_{3 q + 2} = 2 q - 1$ 。最大的是 $S_{3 q + 1}$ ，令 $2 q + 1 \geq 9$ 得 $q \geq 4$ ，此时 $n = 13$ 。再看 $n < 13$ 的情况： $S_{10} = 7$ ， $S_{11} = 5$ ， $S_{12} = 8$ ，而 $n < 10$ 时这些式子的值都不超过 $6$ ，都不到 $9$ 。如果只看完整周期，要到 $S_{15} = 10$ 才不小于 $9$ ，会得到错误的 $15$ 。

答案：

$n = 13$ 。

真题

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取整或最近整数：先解每一组的指标范围

向下取整 $⌊ x ⌋$ 是不超过 $x$ 的最大整数；最近整数是与 $x$ 距离最小的整数，两者不同。固定取值 $m$ ，把条件改写成指标区间，再数该区间的整数。

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一、是什么

最近整数的半整数边界

约定恰在半整数时取较大整数，则 $m$ 是 $x$ 的最近整数，当且仅当 $m - 1/2 \leq x < m + 1/2$ 。根式题先平方这些非负边界，再转成整数指标；若边界本来取不到，须说明原因。

完整块和截断块

$⌊ n ⌋ = m$ 对应 $m^{2} \leq n \leq (m + 1)^{2} - 1$ ，共有 $2 m + 1$ 个指标。最后一块若只到 $N$ ，实际个数是 $N - m^{2} + 1$ 。整数个数有端点的加一。

周期边界的修正

区间端点含分数时，先用上取整和下取整计数。若分母固定，端点的小数部分由指标的余数决定，可以按同余类分组。不要把连续区间长度直接当整数个数。

先看一道例题

例 1：平方根的最近整数

把 $n$ 四舍五入到最近整数，求 $n = 1, \dots, 12$ 的结果之和。

怎么看出来：

正平方根不可能等于半整数：其平方有小数部分 $1/4$ 。

解：

值为 $1$ 时 $1/2 \leq n < 3/2$ ， $n = 1, 2$ 。值为 $2$ 时 $n = 3, 4, 5, 6$ 。值为 $3$ 时 $n = 7, \dots, 12$ ，下一组从 $n = 13$ 开始。和为 $2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 6 \cdot 3 = 28$ 。

答案：

$28$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
根式的取整和	按取整值分组
根式的最近整数	用半整数两侧作边界
求阈值的最大指标	核最后可行项及下一项

三、怎么用

明确向下取整还是最近整数及并列约定。
固定值并解精确指标区间。
完整块求和，末块按实际项数。
核端点和全部组长之和。

四、再做一道

例 2：末块不完整

求 $\sum_{n = 1}^{20} ⌊ n ⌋$ 。

怎么看出来：

按平方数分块。

解：

$1$ 出现 $3$ 次， $2$ 出现 $5$ 次， $3$ 出现 $7$ 次， $4$ 只在 $16$ 至 $20$ 出现 $5$ 次。和为 $3 + 10 + 21 + 20 = 54$ ；组长 $3 + 5 + 7 + 5 = 20$ 。

答案：

$54$ 。

五、容易错在哪

最近整数和向下取整的边界不同，不能混用。
最后一组常常缺项；整数区间含两端时要加一。

真题

按这个方法练 · 12 题

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把带权和换成部分和：离散分部求和

设 $U_{0} = 0, U_{k} = u_{1} + \dots + u_{k}$ 。用 $u_{k} = U_{k} - U_{k - 1}$ 替换带权和，再对齐相减，便把未知的单项换成已知的部分和。这称为离散分部求和，也叫 Abel 变换。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

从展开推公式

$\sum_{k = 1}^{N} a_{k} u_{k} = a_{N} U_{N} + \sum_{k = 1}^{N - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}$ 。证明只要将 $u_{k} = U_{k} - U_{k - 1}$ 代入，分别列两份和，再将第二份的指标减一。

从中间开始的端点

$\sum_{k = L}^{N} a_{k} u_{k} = a_{N} U_{N} - a_{L} U_{L - 1} + \sum_{k = L}^{N - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}$ 。 $L > 1$ 时负的左端项不能省。

权重符号与可行性

若 $a_{1} \geq \dots \geq a_{N} \geq 0$ ，公式中的 $a_{N}$ 与各差均非负，总和为 $a_{1}$ 。若 $m \leq U_{k} \leq M$ ，便得 $a_{1} m \leq \sum a_{k} u_{k} \leq a_{1} M$ 。取等还要能从最优 $U_{k}$ 还原合法的 $u_{k}$ ；若原题还要求 $u_{k} > 0$ ，不能任意选恒定前缀。

先看一道例题

例 1：有限带权和

$u = (1, - 1, 2)$ ， $a = (3, 2, 1)$ 。用部分和计算 $\sum_{k = 1}^{3} a_{k} u_{k}$ 。

怎么看出来：

部分和是 $1, 0, 2$ 。

解：

公式给 $1 \cdot 2 + (3 - 2) \cdot 1 + (2 - 1) \cdot 0 = 3$ 。直接相加 $3 - 2 + 2 = 3$ ，吻合。

答案：

$3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
递减权重乘振荡项	用部分和控制
原条件限制全部前缀	直接把前缀作变量
求和从 $L > 1$ 起	保留左端项

三、怎么用

定义部分和并写 $U_{0} = 0$ 。
用相邻差替换单项。
对齐指标，保留两端。
检查权重符号及等号能否还原。

四、再做一道

例 2：前缀受限的最大值

实数 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ 的每个部分和都在 $[0, 1]$ ，求 $3 u_{1} + 2 u_{2} + u_{3}$ 的最大值。

怎么看出来：

转成非负权重的前缀和。

解：

目标 $= U_{1} + U_{2} + U_{3} \leq 3$ 。取 $U_{1} = U_{2} = U_{3} = 1$ ，还原 $u = (1, 0, 0)$ ，满足全部条件且目标为 $3$ 。

答案：

$3$ 。

五、容易错在哪

用前缀界估计前必须核系数非负。
最优前缀要还原原变量，确认额外的正性或单项约束。

真题

按这个方法练 · 2 题

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整数夹逼：保留余项，证明严格端点

求整数部分时，精确通项未必必要。只要把和 $S$ 夹在 $m \leq S < m + 1$ ，就有 $⌊ S ⌋ = m$ 。裂项后留下的正余项往往决定右端是否严格。

完整讲解 · 例题 · 可练 17 题

一、是什么

正尾项不能丢

$\sum_{k = 1}^{n} 1/ (k (k + 1)) = 1 - 1/ (n + 1)$ ，对每个有限正整数 $n$ 都严格小于 $1$ 。把它只写成不超过 $1$ ，不足以确定整数部分是否为 $1$ 。

构造能相消的界

$k \geq 2$ 时 $1/ k^{2} < 1/ (k (k - 1)) = 1/ (k - 1) - 1/ k$ 。累加给出一个严格上界；下界可保留开头几项，能跨过目标整数即可。

首次越界看相邻两个

若正项和随指标严格增加，判定首次达到阈值，只需确认本项达到、前项未达到。没有单调性时还需核更早全部项。有限严格界与无穷极限不是同一个数值。

先看一道例题

例 1：一个严格小于二的和

$N \geq 2$ ，求 $⌊ \sum_{k = 1}^{N} 1/ k^{2} ⌋$ 。

怎么看出来：

下界保留首项，上界从 $k = 2$ 裂项。

解：

和大于 $1$ 。又 $\sum_{k = 2}^{N} 1/ k^{2} < \sum_{k = 2}^{N} (1/ (k - 1) - 1/ k) = 1 - 1/ N$ ，所以总和 $< 2 - 1/ N < 2$ 。因此整数部分为 $1$ 。

答案：

$1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
只求整数部分	找两条整数边界
分母是平方	用相邻乘积放大并相消
求最小越界指标	先证单调再核前后

三、怎么用

确定要夹在哪两个整数之间。
裂项或构造上下界。
保留尾项以判断严格性。
检查首项和首次越界的前一项。

四、再做一道

例 2：余项决定最小指标

求使 $\sum_{k = 1}^{n} 1/ (k (k + 1)) > 9/10$ 的最小正整数 $n$ 。

怎么看出来：

精确和是 $1 - 1/ (n + 1)$ 。

解：

不等式等价于 $1/ (n + 1) < 1/10$ ，即 $n > 9$ ，最小 $n = 10$ 。 $n = 9$ 时等于 $9/10$ ，不满足严格大于； $n = 10$ 时为 $10/11 > 9/10$ 。

答案：

$n = 10$ 。

五、容易错在哪

取整的右端必须严格，不能用近似值代替证明。
尾项趋于零不表示任何有限项时尾项已经为零。

真题

按这个方法练 · 17 题

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无穷求和先查收敛，再谈绝对值和换序

无穷级数的和定义为有限部分和的极限。等比级数首项 $a \neq = 0$ 时，只有 $∣ q ∣ < 1$ 才收敛，此时和为 $a / (1 - q)$ ；零首项的恒零列若被允许，另列。

完整讲解 · 例题 · 可练 6 题

一、是什么

三个等比和别混

当 $∣ q ∣ < 1$ 时， $\sum_{k = 0}^{\infty} a q^{k} = a / (1 - q)$ ， $\sum ∣ a q^{k} ∣ = ∣ a ∣/ (1 - ∣ q ∣)$ ，平方和为 $a^{2} / (1 - q^{2})$ （此处 $a, q$ 为实数）。负公比会让原和交错，但绝对值和没有交错。

为什么能换序

有限和总能换次序。非负项的多重和可先看越来越大的有限矩形，各矩形和递增；若有统一有限上界，就存在有限极限，再按任一穷尽方式求和都得到同一总和。有正负号时不能据此任意换序，应先证明绝对收敛等充分条件。

交错余项的方向

若 $b_{k} > 0$ 单调趋于零，交错和 $b_{1} - b_{2} + b_{3} - \dots$ 的奇数部分和在极限上方，偶数部分和在下方，误差不超过首个未取项。可由成对分组及奇偶部分和夹逼证明。

先看一道例题

例 1：负公比的三种和

对 $a_{k} = (- 1/2)^{k - 1}$ ，求原和、绝对值和、平方和。

怎么看出来：

三个公比不同。

解：

$∣ - 1/2∣ < 1$ 。原和为 $1/ (1 + 1/2) = 2/3$ ；绝对值和为 $1/ (1 - 1/2) = 2$ ；平方和为 $1/ (1 - 1/4) = 4/3$ 。

答案：

$2/3, 2, 4/3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
无穷等比和	先核 $∣ q ∣ < 1$
原和、绝对值和、平方和同时出现	三个公比分别是 $q, ∣ q ∣, q^{2}$
多重和想换序	先确认非负或绝对收敛

三、怎么用

写有限部分和并确认收敛条件。
区分符号、公比的绝对值和平方。
确有依据后再换序或传极限。
回查零首项及公比为正负一的边界。

四、再做一道

例 2：正项双重和

求 $\sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} 2^{- (m + n)}$ ，并说明求和依据。

怎么看出来：

先算有限矩形。

解：

矩形 $1 \leq m \leq M, 1 \leq n \leq N$ 的和为 $(1 - 2^{- M}) (1 - 2^{- N})$ ，递增且不超过 $1$ 。当 $M, N$ 都趋于无穷时极限为 $1$ 。各项非负，所有有限子集都包含在某矩形内，所以矩形极限就是全和。

答案：

$1$ 。

五、容易错在哪

公比为 $1$ 或 $- 1$ 且首项非零时，不能套无穷和公式。
符号级数未经收敛依据不能任意重排或换序。

真题

按这个方法练 · 6 题

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误区对照

容易误以为

计算 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 2 )}$ 时，裂项得 $\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ ，误以为与间隔为 $1$ 的裂项一样只剩首尾各一项，直接写成 $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n + 2})$ 。

应当这样想

跨步为 $2$ 的差分 $\sum_{k = 1}^{n} (v_{k} - v_{k + 2})$ 展开后，前端保留 $v_{1}, v_{2}$ 两项，后端保留 $- v_{n + 1}, - v_{n + 2}$ 两项，故正确结果为 $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$ （例如 $n = 1$ 时得 $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ ，而错误式给 $\frac{1}{3}$ 虽巧合相等， $n = 2$ 时正确值为 $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{11}{24}$ ，错误式却给 $\frac{3}{8}$ ）。

为什么

一般地，步长为 $d \geq 1$ 的裂项 $\sum_{k = 1}^{n} (v_{k} - v_{k + d})$ 在 $n \geq d$ 时首尾各留下 $d$ 项： $\sum_{j = 1}^{d} v_{j} - \sum_{j = 1}^{d} v_{n + j}$ ；只留首尾单项仅对 $d = 1$ 成立。

容易误以为

用错位相减求 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) \cdot 2^{k}$ 时，写出 $(1 - 2) S_{n} = 1 \cdot 2^{1} + 2 (2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n}) + (2 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ ，把错位后的末项符号写成了加号。

应当这样想

因 $S_{n} - 2 S_{n}$ 中最后一项来自 $- 2 S_{n}$ 的末项 $- (2 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ ，符号必为负： $- S_{n} = 2 + 2 (2^{n + 1} - 4) - (2 n - 1) 2^{n + 1} = (3 - 2 n) 2^{n + 1} - 6$ ，故 $S_{n} = (2 n - 3) 2^{n + 1} + 6$ （代 $n = 1$ 验得 $(2 - 3) \times 4 + 6 = 2 = 1 \cdot 2^{1}$ ）。

为什么

错位相减 $S_{n} - q S_{n}$ 共含 $n + 1$ 个位置：首项 $a_{1} q^{1}$ 带正号，中间 $n - 1$ 项为 $(a_{k} - a_{k - 1}) q^{k}$ ，而第 $n + 1$ 个位置仅有 $- a_{n} q^{n + 1}$ 一项，绝不能漏写负号。

容易误以为

设 $U_{k} = \sum_{j = 1}^{k} u_{j}$ ，做 Abel 分部求和时把公式误记为 $\sum_{k = 1}^{N} a_{k} u_{k} = a_{N} U_{N} + \sum_{k = 1}^{N - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) U_{k}$ ，弄反了权重差分的符号。

应当这样想

将 $u_{k} = U_{k} - U_{k - 1}$ （ $U_{0} = 0$ ）代入得 $\sum_{k = 1}^{N} a_{k} (U_{k} - U_{k - 1}) = a_{N} U_{N} + \sum_{k = 1}^{N - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}$ ，其中 $U_{k}$ 的系数是前项减后项 $a_{k} - a_{k + 1} = - Δ a_{k}$ ；当 $a_{k}$ 单调递减时 $a_{k} - a_{k + 1} \geq 0$ 恰好保证正系数。

为什么

离散分部求和与连续分部积分 $\int a d U = a U - \int U d a$ 完全对偶：移项后中间和自带负号 $- \sum (Δ a_{k}) U_{k} = \sum (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}$ ；也可取 $N = 2$ 、 $u = (1, 0)$ 即 $U = (1, 1)$ 快速核验：左端 $a_{1}$ ，右端 $a_{2} \cdot 1 + (a_{1} - a_{2}) \cdot 1 = a_{1}$ 。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

1. 设数列

{u_{k}}

的前缀和为

U_{k} = \sum_{j = 1}^{k} u_{j}

（

k \geq 1

），则对任意数列

{a_{k}}

与正整数

N \geq 2

，Abel 分部求和公式

\sum_{k = 1}^{N} a_{k} u_{k}

的正确展开式为：A.

a_{N} U_{N} + \sum_{k = 1}^{N - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}

a_{N} U_{N} + \sum_{k = 1}^{N - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) U_{k}

a_{1} U_{1} + \sum_{k = 1}^{N - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}

a_{N} U_{N} - a_{1} U_{1} + \sum_{k = 1}^{N - 1} (a_{k} - a_{k + 1}) U_{k}

真题 · 98 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。

数列的和

从这里开始

从前缀恢复通项，首项单独查

知识要点

方法卡

前缀和不是通项：相邻相减后核首项

一、是什么

为什么必须核 n=1

前缀里仍有末项

权重不能漏

先看一道例题

例 1：首项是例外

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：加权前缀

五、容易错在哪

裂成相邻差或比，先看能否全部抵消

一、是什么

间隔为一

间隔不为一

连乘与递推

先看一道例题

例 1：间隔二留下四端项

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：连乘只留两端

五、容易错在哪

多项式乘等比：错位相减，次数降一

一、是什么

错位要写末端

差分为何降次

有限和不必谈收敛

先看一道例题

例 1：一次多项式乘二的幂

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：公比等于一

五、容易错在哪

交错求和：相邻两项配对，按项数奇偶分开写

一、是什么

怎么看符号

配对和余项

每对不是常数时，再求一次和

等差和：首尾配对

先看一道例题

例 1：由和反求项数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：只知道相邻两项的和

五、容易错在哪

相邻两项的和已知

整数处的余弦

例 3：余弦写法

读循环：加减顺序和退出时机

例 4：循环什么时候结束

对数和变成乘积

例 5：交错对数和

交错调和和：看方向

例 6：夹住交错和

对称位置配对：和不变

例 7：对称位置配对

按奇偶分开后变成递推

例 8：按奇偶拆成递推

周期分块和绝对值和

例 9：周期数列，第一次达到某值

取整或最近整数：先解每一组的指标范围

一、是什么

最近整数的半整数边界

完整块和截断块

周期边界的修正

先看一道例题

例 1：平方根的最近整数

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：末块不完整

为什么必须核 $n = 1$