专题地图 › 数列的性质
2008 年陕西预赛 · 第 3 题
F3选择题数列的性质
已知函数
f(x)={(3−a)x−3,ax−6,x≤7,x>7,
数列 {an} 满足 an=f(n) (n∈N∗),且 {an} 是递增数列,则实数 a 的取值范围是( )。
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
解析
解答
前七项递增要求 3−a>0,即 a<3;从第八项起递增要求 a>1。跨段还需 a8>a7,即 a2>18−7a,化为 (a−2)(a+9)>0。合并三条件得 2<a<3,选 D。
复核
a=2 时 a7=a8=4,故排除;a=3 时前七项相等,亦排除。不要求原分段函数在所有实数上递增。
为什么评为 F3(会透露解法方向)
作者独立评为F3:分别处理离散序列的两段和跨段相邻项。 关键转换后仍需核对定义域、边界或计数不重不漏。
用到的方法(会透露解法方向)
核心工具:用导数或作差看单调性、按断点分段讨论
专题卡:数列的最大项、最小项:看相邻两项的差