培玉 · 一试
2014 年河南预赛 · 第 11 题
F4解答题不等式的证明
设 是三角形的三边长且 ，求实数 的最小值，使
恒成立。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
三角形半周长换元可把边约束转成正变量和固定。对称式允许不失一般性排序；随后每个差的符号都应明确。
想法从哪来：要求参数最小，先在对称的等边情形试值，能得到一个必要下界；但取等点只给猜想，仍须证明它对所有三角形有效。周长固定后，每边小于半周长，这提示用“一减两倍边长”换元，把三角形严格不等式变成三个正数且和为一。原式代入候选参数后，只剩一个对称三次式。对称性允许给新变量排序，再尝试把它拆成平方项与有固定符号的差的乘积。这样的分解既给出充分性，也解释为什么等边情况会控制最优参数。全程要保留变量为正，而不能把退化三角形当作实际取等例子。
先用等边三角形给参数必要界，再将严格三角条件化成正变量上的三次非负式。
解答
取 ，原式要求 。下面证五可行。记 。三角形且周长为一给 。令 ，则三者正且和为一。记 ，计算得 ，所以 。因该式对称，可设 ；此时 。故五满足原式，结合必要性，最小值为 。
复核
取等的等边三角形严格非退化，原定义域内可达。变换后的三正变量来自每条边小于半周长，不能省掉三角形条件后仍照用这个非负证明。
方法总结
最佳常数先找必要构型；三角形边条件可通过半周长差转换成正变量，再用对称非负分解证明充分性。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
最优系数先由对称构型给出必要界；以三角形的半周长余量化为三变量单纯形，并用Schur型分组证明充分性。
已记下，谢谢！