2026 年广西预赛

解答

记椭圆中心为 $O=(0,0)$，左顶点为 $A=(-a,0)$。取 $CD$ 的一个方向向量 $\mathbf{v}=(u,v)\ne (0,0)$。题目中的直线还与 $y$ 轴相交，故 $u\ne 0$。 记

中心弦所在直线上的点可写成 $t\mathbf{v}$。代入椭圆得 $t^{2}Q=1$，所以

过 $A$ 的平行线写成 $A+s\mathbf{v}=(-a+su,sv)$。它与 $y$ 轴相交时 $-a+su=0$，故

把 $A+s\mathbf{v}$ 代入椭圆方程，得到

即

$s=0$ 对应点 $A$，故另一交点 $N$ 对应 $s=2u/(aQ)$，从而

因此

命题得证。