2026 年浙江预赛

思路

外相似中心是两圆外公切线的交点，它把圆心连线按半径作外分；半径不等时坐标为 $(R_1{O}_2-R_2{O}_1)/(R_1-R_2)$，可由相似直角三角形推得。

想法从哪来：两圆都以同一直线上的线段为直径，圆心与半径完全受弦端点在这条线上的有向位置控制。因此先从固定交点出发参数化直线，让椭圆两交点对应二次方程的两根；根积为负还自动说明它们在固定点两侧。 外公切线交点是两圆的外相似中心，其位置按半径作有向分点。半径包含有向参数的绝对值，必须先确定两根符号，再代公式，不能把内外相似中心混淆。简化时只出现根积除以根和，恰可由韦达直接消去端点。得到直线轨迹后，还需检查是否整条都能取得：参数$m=0$对应竖直割线，此时两圆等半径，外公切线平行，没有有限交点；这与有限轨迹的缺点不同。有限非零$m$给出的交点纵坐标恒非零，缺少的横轴交点对应原参数族未包含的水平割线极限，即$|m|$趋于无穷的情形。

把直线上的点写成 $(-3,0)+t(m,1)$，椭圆的两个交点就对应一个关于 $t$ 的二次方程。 两圆的圆心和半径也都能用这两个根表示，再利用外相似中心的分点公式即可消去参数。