2025 年福建预赛

解答

当 $p=2$ 时，

不是完全平方数，故 $p$ 必为奇素数。令

由费马小定理，$p\mid 2^{p-1}-1$，而

两个因子都是奇数，且最大公因数为 $1$，所以 $p$ 恰好整除其中一个。

若 $p\mid 2^n-1$，则

是两个互素正整数的乘积，并且是完全平方数。因此 $2^n+1$ 本身是完全平方数。 设 $2^n+1=y^2$，则 $y$ 为奇数，且

故 $y-1,y+1$ 都是 $2$ 的幂。二者相差 $2$、最大公因数为 $2$，只能是

于是 $y=3,n=3$，从而 $p=2n+1=7$。

若 $p\mid 2^n+1$，同理可知 $2^n-1$ 是完全平方数。设

若 $n\ge 2$，则左式给出 $2^n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$，而 $y$ 为奇数， $y^2+1\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，矛盾。因此 $n=1$，从而 $p=3$。

直接检验：

所以全部所求素数为