2017 年辽宁预赛 · 第 10 题

解答

记重心为 $G$，三边平方和为 $L$。设三顶点相对G的向量为 $u,v,w$，则 $u+v+w=0$、$|u{|}^2+|v{|}^2+|w{|}^2=L/3$。展开所给三项点积得 $\mu =3|PG{|}^2-L/6$。由余弦定理 $B{C}^2=2+3-2\sqrt{6}\cos 30^{\circ }=5-3\sqrt{2}$，所以 $L=10-3\sqrt{2}$。因此 $\mu$ 在 $P=G$ 时最小，为 $\boxed{(3\sqrt{2}-10)/6}$。