2025 年江西预赛

思路

对四点和其重心 $G$，有 ${\sum }_{i<j}|X_i-X_j{|}^2=4{\sum }_i|X_i-G{|}^2$，可逐项展开平方验证。正四面体外接球半径与棱长之比为 $\sqrt{6}/4$。

想法从哪来：四个相同小球的对称摆放提示正四面体，但不能仅凭“最优应当对称”就把它当证明。先把球换成球心：两球不重叠给两球心距离下界，大球容纳条件给每个球心到大球中心的上界。把六个两两距离平方加起来，能同时使用所有约束，比只看一对球更强。 平方和与重心的恒等式把两类距离联系起来，其中重心偏离大球中心只会降低上界。因此得到任何摆放都必须遵守的半径限制。再反向检查等号要求：球心等距、重心居中、每个球心都达到允许半径，恰由正四面体实现。这样对称构造既解释猜测来源，又有严格全局界支持。

最大状态下四个小球两两相切且都与大球内切，四个小球球心构成正四面体。 利用正四面体外接球半径与棱长的固定比例即可求解。