培玉 · 一试
2026 年中科大少年班入围考 · 第 10 题
F3填空题概率
在单位正方形内部随机取一点，然后以该点为圆心画一个单位圆。以表示落在该圆内的正方形顶点个数，则。
辅助理解的补绘示意图，非原题配图。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
直接求顶点个数的完整分布较繁，但每个固定顶点被圆覆盖的概率容易用圆心所在区域的面积求出。
思路
把个数写成四个指示变量的和。
解答
对四个顶点 ，令 表示它是否位于所画单位圆内，则 。固定一个顶点，被覆盖等价于随机圆心到它的距离不超过 。在单位正方形中，满足条件的圆心构成以该顶点为圆心、半径为一的四分之一圆盘，面积为 。
正方形面积为一，故每个 。由期望线性性，
复核
覆盖不同顶点的事件并不独立，但期望相加不要求独立。圆心恰好使某顶点落在圆周上的边界是一条圆弧，面积为零，因此“圆内”是否包含圆周不影响结果。所得期望介于零与四之间，符合个数范围。
方法总结
求满足几何条件的对象个数的期望，可对每个对象求单独被选中的概率，再相加；不必先求各指示事件的依赖关系。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需自行把顶点计数拆成四个0-1变量并交换圆心和固定顶点的角色；此后用四分之一圆面积，无须求X的完整分布。
已记下，谢谢！