2008 年河北预赛 · 第 5 题

解答

令 $u=(x+y)/2,v=(x-y)/2$，则 $2\cos u\cos v=1$，目标 $T=2\cos u\sin v$。因此 $T^2=4{\cos }^{2}u(1-{\cos }^{2}v)=4{\cos }^{2}u-1\le 3$，故 $|T|\le \sqrt{3}$。反之，让 $r$ 取遍 $[1/2,1]$，选 $\cos u=r$、$\cos v=1/(2r)$，并分别选择 v 的正负，则目标依次实现 $\pm \sqrt{4r^2-1}$。再取 $x=u+v,y=u-v$ 即满足原条件，所以完整范围为 $\boxed{[-\sqrt{3},\sqrt{3}]}$，选 D。