易混 2017 年辽宁预赛 第 12 题 · P010706
看到圆上两点的距离乘积，先核查它们与所用基点是否处于同一条割线上。一个构型确有同一基点的两条割线，可以求该点的幂并转换成边长比例；另一个构型中的弦中点与两割点通常不共线，需从圆方程和根的关系重新证明乘积性质。
点幂控制共线割线的有向乘积，任意两点到弦中点的距离积并不自动是点幂；外形相近不能省略共线条件。
培玉 · 一试
2016 年河南预赛 · 第 10 题
F3解答题平面几何综合
如图， 为 的切线， 是切点， 为线段 的中点， 为一条割线，直线 ， 与 分别交于 三点。求证：
- (1)
；
- (2)
。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
M、K、L一般不共线，第一问不能直接用M点幂。
思路
以切点弦中点为原点建立圆方程，对割线交点用韦达关系；同一关系还会给第二问两横坐标互为相反数。
解答
取 ，a、o、t>0。切线半径垂直给ao=t²，圆方程为
割线可写为y=k(x+a)，设K、L横坐标为x1、x2。代入圆得
因 ，ML类似，故
最后一步用ao=t²。取正根即
再写 ，它与PQ交点Y横坐标为0。令q=k+t/a，q≠0，否则割线就是AQ切线。由QK与l求交，
而
所以xX+xZ=0。X、Y、Z都在同一直线l上，Y的横坐标为二者平均，故Y为XZ中点，得到
复核
所有真割线均不竖直，因为竖直线x=−a经过圆外点A且与AM垂直，不与圆相交。x_i+a不为零，因为K、L不是A；q=0为切线而不是真割线。l过Q时X=Y=Z的等长关系亦成立；图示为非退化三交点。
方法总结
切点弦中点与任意割线的距离乘积，先核三点是否共线；用切线的正交关系与韦达式，能同时求距离积和投影中点。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
切点弦中点与任意割线交点一般不共线，不能直接套点幂；用切线正交关系配韦达式，分别提取距离积和投影中点。
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易混 2023 年贵州预赛 · P006688
两题都出现圆与两段距离的乘积，但点幂公式要求这两段在同一条过基点的割线上。前题从外点沿每条割线取近远端点，可以逐线用点幂；后题距离积的基点一般不在两交点连线上，须用圆方程与韦达另证乘积恒定。
垂直割线条件提供正交投影约束；切点弦中点条件则提供另一组代数消去关系，不能把形式相似的距离积当同一条点幂公式。
已记下，谢谢！