平面几何综合

平面几何综合

联赛一试的平面几何以计算为主：解三角形，求长度、面积、角度或外接圆半径，多以填空题出现；各省预赛还常有证明共圆、垂直、共线、共点的解答题。难点不在定理本身，而在条件多而分散：要先想清楚用哪条主线（边角关系、圆幂、面积，还是干脆建坐标）把条件串起来，算完再核对点的位置和取值范围。

知识要点

正弦定理、外接圆与定角定对边极值

正弦定理 $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$ 的本质是：同一圆中，弦长等于直径乘以它所对圆周角的正弦，也可写成 $2 R sin \frac{θ}{2}$ （ $θ$ 为圆心角）。例如 $a = 7, A = 6 0^{\circ}$ ，则 $R = \frac{7}{2 sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{7 3}{3}$ ；半径 $5$ 的圆中圆心角 $12 0^{\circ}$ 的弦长为 $2 \cdot 5 sin 6 0^{\circ} = 53$ 。

推论（定角定对边极值）：一边 $a$ 及其对角 $A$ 固定时，第三个顶点 $A$ 在定圆弧上运动，且由和差化积 $b + c = 2 R (sin B + sin C) = 4 R cos \frac{A}{2} cos \frac{B - C}{2} \leq \frac{a}{sin ( A /2 )}$ ，面积 $S = \frac{1}{2} b c sin A \leq \frac{a ^{2}}{4 tan ( A /2 )}$ ，两者均在 $b = c$ （弧中点，等腰三角形）时取到最大值。

余弦定理、射影定理、斯特瓦尔特（Stewart）定理与圆内接四边形

余弦定理 $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ 把角完全换成边； $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ 的正负决定 $C$ 是锐角、直角还是钝角。从顶点作高将底边分为两段有向投影，立得射影定理 $a = b cos C + c cos B$ 。若点 $D$ 在边 $BC$ 上满足 $B D = m, D C = n$ （ $m + n = a$ ），对 $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 的互补邻角联立余弦定理消去余弦，即得斯特瓦尔特（Stewart）定理 $b^{2} m + c^{2} n = a (A D^{2} + mn)$ （特例给出中线平方 $m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$ 与内角平分线平方 $l_{a}^{2} = b c [1 - \frac{a ^{2}}{( b + c ) ^{2}}] = \frac{4 b ^{2} c ^{2} cos ^{2} ( A /2 )}{( b + c ) ^{2}}$ ）。

圆内接四边形对角互补， $cos D = - cos B$ 。已知四边时，对同一条对角线 $A C$ 在两个三角形里各写一次余弦定理即可解出它。例如 $A B = 1, BC = 2, C D = 2, D A = 3$ ： $5 - 4 cos B = 13 + 12 cos B$ ，得 $cos B = - \frac{1}{2}$ ， $A C = 7$ ，外接圆直径 $\frac{7}{sin 12 0 ^{\circ}} = \frac{2 21}{3}$ 。

三角形面积的几种写法与正切/余切恒等式

S = \frac{1}{2} ab sin C = \frac{ab c}{4 R} = rs = s (s - a) (s - b) (s - c),

其中 $s$ 为半周长， $r$ 为内切圆半径。哪个量已知就选哪个式子，常用来在 $R, r$ 、边和角之间互相转换。例如三边 $13, 14, 15$ ： $s = 21$ ， $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84$ ，于是 $r = \frac{84}{21} = 4$ ， $R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{65}{8}$ 。此外，由 $cot A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{4 S}$ 可得余切和 $cot A + cot B + cot C = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4 S}$ ，且满足全角余切恒等式 $cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = 1$ 与非直角三角形的正切恒等式 $tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C$ 。

另外，同高的两个三角形面积比等于底边比，这是“面积法”的基础。

圆幂定理（相交弦、切割线）与根轴

过点 $P$ 的直线交半径 $r$ 、圆心 $O$ 的圆于 $A, B$ ，则 $P A \cdot PB = ∣ O P^{2} - r^{2} ∣$ ，与直线方向无关； $P$ 在圆外时它也等于切线长的平方。用有向线段（或向量）写成 $P A \cdot PB = O P^{2} - r^{2}$ 更不易出错：圆内为负，圆外为正。例如 $r = 5, OP = 13$ ：切线长 $12$ ；若割线 $P A = 8$ ，则 $PB = \frac{144}{8} = 18$ 。

对两个圆心不同的圆，幂相等的点组成一条直线，叫根轴；两圆相交时根轴就是两交点的连线。

四点共圆的判定

常用判据：

•
四边形对角互补（或一个外角等于内对角）；
•
线段 $A B$ 同侧的两点 $C, D$ 满足 $∠ A CB = ∠ A D B$ ；
•
圆幂逆定理：直线 $A B, C D$ 交于 $P$ ，且 $P A \cdot PB = PC \cdot P D$ ，同时 $P$ 要么在两条线段内部、要么在两条线段外部。

例如 $P$ 为原点， $A (1, 0), B (6, 0), C (0, 2), D (0, 3)$ ： $P A \cdot PB = 6 = PC \cdot P D$ ， $P$ 在两线段外，四点共圆（圆为 $x^{2} + y^{2} - 7 x - 5 y + 6 = 0$ ）。

内切圆与切线长

从顶点 $A, B, C$ 到内切圆的切线长分别是 $x = s - a, y = s - b, z = s - c$ ，于是 $a = y + z, b = z + x, c = x + y, s = x + y + z$ 。由海伦公式 $S^{2} = s x yz$ ，得 $r^{2} = \frac{x yz}{s}$ ；又 $tan \frac{A}{2} = \frac{r}{x}$ 。直角三角形中 $r = \frac{a + b - c}{2}$ （ $c$ 为斜边）。

例如三边 $3, 4, 5$ ： $s = 6$ ，三个切线长为 $3, 2, 1$ ， $r^{2} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{6} = 1$ ，与 $\frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ 一致。

三角形的心：常用数量关系

设外心 $O$ 、垂心 $H$ 、内心 $I$ ，外接圆半径 $R$ 、内切圆半径 $r$ ：

•
以 $O$ 为原点时 $O H = O A + OB + OC$ ，由此 $O H^{2} = 9 R^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ ；
•
垂心到顶点： $A H = 2 R ∣ cos A ∣$ ；
•
欧拉公式： $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ 。

用 $3, 4, 5$ 直角三角形检验（ $C$ 为直角顶点， $a = 3, b = 4$ ）： $R = \frac{5}{2}$ ， $H = C$ ， $O$ 是斜边中点， $O H = \frac{5}{2}$ ，而 $9 R^{2} - 50 = \frac{25}{4}$ ； $A H = A C = 4 = 2 R cos A$ ； $O I^{2} = \frac{25}{4} - 5 = \frac{5}{4}$ 。

梅涅劳斯定理与塞瓦定理

一条直线分别交 $△ A BC$ 的边所在直线 $BC, C A, A B$ 于 $D, E, F$ ，则 $\frac{B D}{D C} \cdot \frac{CE}{E A} \cdot \frac{A F}{FB} = 1$ （梅涅劳斯，这里用线段长度；这条直线与三边所在直线的交点中，在边的延长线上的有一个或三个）。若 $A D, BE, CF$ 交于形内一点，同一乘积也等于 $1$ （塞瓦）；还有正弦形式 $\frac{sin ∠ B A D}{sin ∠ D A C} \cdot \frac{sin ∠ CBE}{sin ∠ EB A} \cdot \frac{sin ∠ A CF}{sin ∠ FCB} = 1$ 。

例： $E$ 为 $C A$ 中点， $F$ 在 $A B$ 上且 $A F : FB = 2 : 1$ ，直线 $EF$ 交 $BC$ 的延长线于 $D$ ，则 $\frac{B D}{D C} = \frac{1}{2}$ ，即 $B D = BC$ 。

方法卡

坐标法

沿已知垂直方向建立正交坐标，把几何条件化为方程。

完整讲解 · 例题 · 可练 77 题

一、是什么

先认识这些量

正交坐标两轴互相垂直且使用相同长度单位。向量 $(u, v)$ 的长度平方为 $u^{2} + v^{2}$ ；两向量点积为坐标乘积之和。

为什么这样做

中点直接取坐标平均，垂直转成点积为零；选好原点可减少未知量，不能随意把斜方向当直角坐标轴。

先看一道例题

例 1：中点连线

$A = (0, 0), B = (4, 0), C = (0, 6)$ ，求 $A B, A C$ 中点连线长度。

怎么看出来：

中点坐标可直接读出。

解：

中点为 $M = (2, 0), N = (0, 3)$ ，故 $MN = (- 2)^{2} + 3^{2} = 13$ 。

答案：

$13$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
图中有现成的直角、垂线、高或中点；条件和结论是“垂直、共线、共点、共圆、等距”这类可以写成方程的关系，而纯几何追角找不到头绪。	沿已知垂直方向建立正交坐标，把几何条件化为方程。
$A = (0, 0), B = (4, 0), C = (0, 6)$ ，求 $A B, A C$ 中点连线长度。	中点坐标可直接读出。

三、怎么用

把原点放在中点或直角顶点。
沿垂线选等尺度坐标轴。
翻译中点、长度或垂直条件。
解方程后回到原几何检验。

四、再做一道

例 2：垂足

$P = (3, 4)$ ，求其到直线 $y = x$ 的垂足。

怎么看出来：

直线上的点写成同坐标。

解：

设 $H = (t, t)$ ， $(3 - t, 4 - t) \cdot (1, 1) = 0$ 得 $t = 7/2$ 。

答案：

$H = (7/2, 7/2)$ 。

五、容易错在哪

非等比拉伸虽然保持共线，却不保持长度和直角，不能混用原度量。

真题

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边角互化（正弦、余弦定理消元）

边角混合时，先选正弦或余弦定理把未知量统一。

完整讲解 · 例题 · 可练 31 题

一、是什么

先认识这些量

三角形中边 $a, b, c$ 分别对角 $A, B, C$ 。正弦定理为 $a / sin A = b / sin B$ ，余弦定理为 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ 。

为什么这样做

已知两边夹角优先余弦定理；已知对边对角优先正弦定理。解得角还要满足三角形角的范围。

先看一道例题

例 1：两边夹角

两边为 $3, 5$ ，夹角 $6 0^{\circ}$ ，求第三边。

怎么看出来：

两边夹角直接用余弦。

解：

第三边平方 $9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (1/2) = 19$ ，边长为 $19$ 。

答案：

$19$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
给出几条边和几个角求其余量；出现角的倍数关系（如 $A = 2 B$ ）；圆内接多边形给边长求半径。	边角混合时，先选正弦或余弦定理把未知量统一。
两边为 $3, 5$ ，夹角 $6 0^{\circ}$ ，求第三边。	两边夹角直接用余弦。

三、怎么用

标清边与对角。
选择使未知最少的一条定理。
统一成边或角并求解。
核正长度、三角不等式和角域。

四、再做一道

例 2：对角边比

$A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}$ ，对边 $b = 6$ ，求 $a$ 。

怎么看出来：

有完整对边对角。

解：

$a / sin 3 0^{\circ} = 6/ sin 9 0^{\circ}$ ，故 $a = 3$ ，第三角为 $6 0^{\circ}$ ，构型合法。

答案：

$3$ 。

五、容易错在哪

余弦定理中的角是两已知边的夹角，不能随意换成对角。

真题

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面积法

面积既能比较底高比例，也能把内切圆半径或夹角联系起来。

完整讲解 · 例题 · 可练 28 题

一、是什么

先认识这些量

三角形面积 $S = bh /2$ ，其中 $h$ 是底边的垂直高。半周长 $s = (a + b + c) /2$ ，内切圆半径满足 $S = rs$ 。

为什么这样做

同高三角形的面积比等于底比；连接内心到三个顶点，把原面积分成三个高为 $r$ 的三角形，即得 $S = rs$ 。

先看一道例题

例 1：中点面积

三角形 $A BC$ 面积为 $18$ ， $M$ 是 $BC$ 中点，求 $A BM$ 面积。

怎么看出来：

两小三角形共用从顶点到底边的高。

解：

$BM = BC /2$ ，故 $[A BM] = 18/2 = 9$ 。

答案：

$9$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
题目给出面积、面积比、内切圆半径或点到直线的距离；几个三角形共用一条边或共用一个顶点的高。	面积既能比较底高比例，也能把内切圆半径或夹角联系起来。
三角形 $A BC$ 面积为 $18$ ， $M$ 是 $BC$ 中点，求 $A BM$ 面积。	两小三角形共用从顶点到底边的高。

三、怎么用

明确共同底或共同高。
用面积比翻译分点条件。
需要半径时计算全部半周长。
检验所用高度确实垂直。

四、再做一道

例 2：内切半径

直角三角形两直角边为 $6, 8$ ，求内切圆半径。

怎么看出来：

面积与半周长可直接算。

解：

斜边为 $10$ ，面积 $24$ ，半周长 $12$ ，所以 $r = S / s = 2$ 。

答案：

$2$ 。

五、容易错在哪

斜边或侧边一般不是高，面积公式必须使用垂直距离。

真题

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圆幂与根轴

同一点引出的割线或切线，可用同一个圆幂联系长度乘积。

完整讲解 · 例题 · 可练 16 题

一、是什么

先认识这些量

点 $P$ 对圆心 $O$ 、半径 $r$ 的圆幂是 $O P^{2} - r^{2}$ 。外点的割线先后交于 $A, B$ 时， $P A \cdot PB$ 等于圆幂；切线长平方也等于圆幂。

为什么这样做

把割线写成单位方向参数代入圆方程，两个交点参数的积就是圆幂。内点要用有向线段，不能强行用正数乘积等同负幂。

先看一道例题

例 1：求切线长

外点引割线，外段为 $2$ ，整段为 $8$ ，求切线长。

怎么看出来：

整段八已经包括外段。

解：

切线长平方为 $2 \cdot 8 = 16$ ，取正根得 $4$ 。

答案：

$4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
从一点引出两条割线或切线；直径与弦相交；两圆相交且出现公共弦；要证切线长相等、相切或某点在定直线上。	同一点引出的割线或切线，可用同一个圆幂联系长度乘积。
外点引割线，外段为 $2$ ，整段为 $8$ ，求切线长。	整段八已经包括外段。

三、怎么用

判断点在圆内还是圆外。
识别割线全长与外段。
列圆幂相等式。
求长度并核正性及真实交点次序。

四、再做一道

例 2：圆心距离

圆半径 $3$ ， $OP = 5$ ，求外点 $P$ 的切线长。

怎么看出来：

点幂可由圆心距直接算。

解：

点幂为 $25 - 9 = 16$ ，切线长为 $4$ 。直角三角形 $OPT$ 也给同样结果。

答案：

$4$ 。

五、容易错在哪

割线公式乘外段与整段，不能乘外段与圆内部分。

真题

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切线长参数化（内切圆题）

每个顶点的两条内切圆切线等长，可用三个正数表示三边。

完整讲解 · 例题 · 可练 6 题

一、是什么

先认识这些量

设顶点 $A, B, C$ 的切线长分别为 $x, y, z$ ，则 $A B = x + y, A C = x + z, BC = y + z$ ，半周长 $s = x + y + z$ 。

为什么这样做

反过来 $x = s - a, y = s - b, z = s - c$ ，其中 $a = BC$ 。海伦公式 $S^{2} = s x yz$ 与 $S = rs$ 合成 $r^{2} = x yz / s$ 。

先看一道例题

例 1：三四五三角形

三边 $BC = 5, C A = 4, A B = 3$ ，求三个顶点切线长。

怎么看出来：

半周长为六。

解：

$x = s - a = 1, y = s - b = 2, z = s - c = 3$ ，核 $x + y = 3, x + z = 4, y + z = 5$ 。

答案：

$x = 1, y = 2, z = 3$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
出现内切圆、切点、半周长，或条件里有“某条边等于某段切线长”之类的等式。	每个顶点的两条内切圆切线等长，可用三个正数表示三边。
三边 $BC = 5, C A = 4, A B = 3$ ，求三个顶点切线长。	半周长为六。

三、怎么用

按顶点定义三个切线长。
将三边与半周长改写。
利用面积或半径关系求解。
核三个切线长均为正。

四、再做一道

例 2：反求半径

三顶点切线长为 $2, 3, 4$ ，求内切圆半径。

怎么看出来：

三边由成对求和给出。

解：

三边为 $5, 6, 7$ ，半周长 $9$ ， $r^{2} = 2 \cdot 3 \cdot 4/9 = 8/3$ ，故 $r = 26 /3$ 。

答案：

$26 /3$ 。

五、容易错在哪

切线长按顶点命名，不能把顶点参数与其对边误配。

真题

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相似与共圆转角

先用共圆关系得到等角，再由相似把角条件变成边比。

完整讲解 · 例题 · 可练 12 题

一、是什么

先认识这些量

四点共圆表示四点在同一圆上。同弧所对的圆周角相等；两角分别相等的三角形相似，对应边成比例。

为什么这样做

直径所对圆周角为直角。对应角找到后再列比例，能避免把不对应的边相除。

先看一道例题

例 1：直径圆

$A B = 10$ 是圆的直径， $C$ 在圆上且 $A C = 6$ ，求 $BC$ 。

怎么看出来：

直径给出直角。

解：

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ ，故 $B C^{2} = 100 - 36 = 64$ ，得 $BC = 8$ 。

答案：

$8$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
圆内接四边形加上一个等角条件；要证两角相等、切线、或形如 $T D^{2} = TB \cdot TC$ 的乘积式。	先用共圆关系得到等角，再由相似把角条件变成边比。
$A B = 10$ 是圆的直径， $C$ 在圆上且 $A C = 6$ ，求 $BC$ 。	直径给出直角。

三、怎么用

标出同弧、直径或已知等角。
逐一写相等的对应角。
按顶点对应列边比。
核点序和退化，再求长度。

四、再做一道

例 2：平行截线

三角形中 $D \in A B, E \in A C, D E ∥ BC$ ， $A D / A B = 2/3, BC = 9$ ，求 $D E$ 。

怎么看出来：

两角对应相等，大小三角形相似。

解：

$A D E \sim A BC$ ，故 $D E / BC = A D / A B = 2/3$ ，所以 $D E = 6$ 。

答案：

$6$ 。

五、容易错在哪

相似式的字母顺序就是对应关系，列比例前必须逐点核对。

真题

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向量、旋转与中心为原点

把旋转写成坐标变换，一次利用等长与转角。

完整讲解 · 例题 · 可练 9 题

一、是什么

先认识这些量

以原点逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ ， $(x, y)$ 变成 $(- y, x)$ 。旋转保长度和夹角；绕别的中心要先减去中心坐标。

为什么这样做

旋转后的向量与原向量点积为零且模相同。中心对称或质心条件还可使距离平方和的交叉项消掉。

先看一道例题

例 1：直角旋转

点 $(2, 1)$ 绕原点逆时针转 $9 0^{\circ}$ ，求像点。

怎么看出来：

横纵交换并给新横坐标加负号。

解：

像点为 $(- 1, 2)$ ，两向量点积 $- 2 + 2 = 0$ ，长度平方均为 $5$ 。

答案：

$(- 1, 2)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
一串等腰直角三角形、正方形或正三角形；内接正三角形；正三角形内一点到三顶点的距离。	把旋转写成坐标变换，一次利用等长与转角。
点 $(2, 1)$ 绕原点逆时针转 $9 0^{\circ}$ ，求像点。	横纵交换并给新横坐标加负号。

三、怎么用

确定旋转中心与方向。
把各点转为相对中心的向量。
应用旋转公式或展开点积。
恢复坐标并核长度方向。

四、再做一道

例 2：绕指定中心

$P = (4, 3)$ 绕 $C = (1, 1)$ 逆时针转 $9 0^{\circ}$ ，求像点。

怎么看出来：

先使用相对向量。

解：

$P - C = (3, 2)$ ，旋转成 $(- 2, 3)$ ，加回中心得 $(- 1, 4)$ 。

答案：

$(- 1, 4)$ 。

五、容易错在哪

顺时针和逆时针符号不同，绕非原点旋转时不能直接旋转绝对坐标。

真题

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设角为参数求值与最值

用一个角表示有关长度，把几何最值转成规定角域内的函数最值。

完整讲解 · 例题 · 可练 7 题

一、是什么

先认识这些量

单位圆点可写成 $(cos θ, sin θ)$ 。振幅公式把 $u sin θ + v cos θ$ 写成一个正弦，其绝对值不超过 $u^{2} + v^{2}$ 。

为什么这样做

振幅给出的等号角只有落在允许范围内才有效；受限角域还需检查端点。

先看一道例题

例 1：第一象限投影

$0 \leq θ \leq π /2$ ，求 $sin θ + cos θ$ 最大值。

怎么看出来：

合成振幅并检查角域。

解：

和为 $2 sin (θ + π /4)$ ，在 $θ = π /4$ 取最大 $2$ 。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
图中只有一个“自由度”，而它最自然的描述是一个角：动点在圆弧上、某个角可以变、或几个角之间有和差关系；求长度、面积的值或最值。	用一个角表示有关长度，把几何最值转成规定角域内的函数最值。
$0 \leq θ \leq π /2$ ，求 $sin θ + cos θ$ 最大值。	合成振幅并检查角域。

三、怎么用

选一个控制构型的角。
列角的真实范围。
写目标三角函数并估计。
核等号角合法，必要时比较端点。

四、再做一道

例 2：受限角

$0 \leq θ \leq π /6$ ，求 $sin θ + cos θ$ 最大值。

怎么看出来：

振幅等号角不在本区间。

解：

导数 $cos θ - sin θ > 0$ ，最大在右端，值为 $(1 + 3) /2$ 。

答案：

$(1 + 3) /2$ 。

五、容易错在哪

不能忽略角域而一律报振幅，取等点可能根本不允许。

真题

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误区对照

容易误以为

平面上四点 $A (1, 0), B (6, 0)$ 在 $x$ 轴上， $C (0, - 2), D (0, 3)$ 在 $y$ 轴上。因线段长满足 $O A \cdot OB = 1 \times 6 = 6 = OC \cdot O D$ ，故 $A, B, C, D$ 四点共圆。

应当这样想

两坐标轴垂直相交于原点 $O$ ，四点共圆充要条件是有向截距之积相等： $x_{A} x_{B} = y_{C} y_{D}$ （即 $O$ 同时在线段 $A B, C D$ 内部，或同时在两线段外部）。此处 $x_{A} x_{B} = 1 \times 6 = 6$ ，而 $y_{C} y_{D} = (- 2) \times 3 = - 6 \neq = 6$ （ $O$ 在线段 $C D$ 内部却在线段 $A B$ 外部），故四点不共圆；若改为 $C (0, 2), D (0, 3)$ 则有向积均为 $6$ ，四点共圆。

为什么

坐标法翻译圆幂逆定理时，截距必须带符号：一般圆方程 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 在两轴上的截距之积都等于常数项 $F$ ，符号相反说明原点对一弦在圆内、对另一弦在圆外，不可能同在一个圆上。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中，已知 $a cos A = b cos B$ ，两边由正弦定理化为 $sin A cos A = sin B cos B$ ，即 $sin 2 A = sin 2 B$ ，故 $2 A = 2 B$ ，该三角形必为等腰三角形。

应当这样想

在 $(0, π)$ 内， $sin 2 A = sin 2 B$ 有两支解： $2 A = 2 B$ （即 $A = B$ ，等腰三角形）或 $2 A + 2 B = π$ （即 $A + B = \frac{π}{2}, C = \frac{π}{2}$ ，直角三角形）。故 $△ A BC$ 是等腰三角形或直角三角形。

为什么

正弦函数在 $(0, π)$ 上不单调，对 $α, β \in (0, 2 π)$ ， $sin α = sin β$ 等价于 $α = β$ 、 $α + β = π$ 或 $α + β = 3 π$ （在三角形中因 $0 < 2 A + 2 B < 2 π$ ，故只可能 $2 A = 2 B$ 或 $2 A + 2 B = π$ ，亦可由 $sin 2 A - sin 2 B = 2 cos (A + B) sin (A - B) = 0$ 直接推出）；凡通过正弦值相等反推角的关系，都必须检验互补角分支是否符合三角形内角和。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中， $A B = 15, BC = 13$ ， $A C$ 边上的高 $B H = 12$ ，求 $△ A BC$ 的面积：由勾股定理得 $A H = 1 5^{2} - 1 2^{2} = 9$ ， $C H = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 5$ ，故 $A C = 9 + 5 = 14$ ，面积为 $\frac{1}{2} \times 14 \times 12 = 84$ 。

应当这样想

题目未限定 $∠ C$ 为锐角：当 $∠ C$ 为锐角时，垂足 $H$ 在线段 $A C$ 上， $A C = A H + C H = 14$ ，面积为 $84$ ；当 $∠ C$ 为钝角时， $H$ 落在 $A C$ 的延长线上， $A C = A H - C H = 9 - 5 = 4$ ，面积为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 12 = 24$ 。故面积为 $84$ 或 $24$ 。

为什么

作高把三角形拆成两个直角三角形时，勾股定理只给出投影的绝对长度 $A H$ 与 $C H$ ；底边长究竟是 $A H + C H$ 还是 $∣ A H - C H ∣$ ，取决于底角是全为锐角还是有一个钝角。

容易误以为

从圆外一点 $P$ 引割线依次交圆于 $A, B$ ，已知 $P A = 4, A B = 5$ ，切线为 $PT$ ，由切割线定理写 $P T^{2} = P A \cdot A B = 4 \times 5 = 20$ ，得 $PT = 25$ 。

应当这样想

切割线定理中的两段都必须从点 $P$ 量起： $PB = P A + A B = 4 + 5 = 9$ ，因此 $P T^{2} = P A \cdot PB = 4 \times 9 = 36$ ，切线长 $PT = 6$ 。

为什么

点幂 $P A \cdot PB = O P^{2} - r^{2}$ 是以定点 $P$ 为共同起点的两个有向线段之积，不能把圆内弦长 $A B$ 误当作远端割线段 $PB$ 。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中， $a = 7, b = 8, c = 9$ ，设内切圆在 $A B$ 上的切点为 $F$ ，求 $A F$ ：由半周长 $s = 12$ ，误认为 $A B$ 是边 $c$ ，故 $A F = s - c = 12 - 9 = 3$ 。

应当这样想

从顶点 $A$ 出发的两段切线长相等，都等于半周长减去 $A$ 的对边 $a$ ： $A F = A E = s - a = 12 - 7 = 5$ （而 $BF = s - b = 12 - 8 = 4$ ，恰好 $A F + BF = 5 + 4 = 9 = c$ ）。

为什么

三边关系 $a = y + z, b = z + x, c = x + y$ 中，顶点 $A$ 处的切线长 $x = s - a$ 只与对边 $a = BC$ 有关；写切线长时应盯住“从哪个顶点引出”，而不是“落在哪条边上”。

容易误以为

半径为 $1$ 的圆中，弦 $A B = 3$ ，点 $C$ 为圆周上异于 $A, B$ 的一点，由正弦定理 $sin C = \frac{A B}{2 R} = \frac{3}{2}$ ，直接得圆周角 $∠ A CB = 6 0^{\circ}$ 。

应当这样想

弦 $A B$ 把圆周分成优弧和劣弧两段：当点 $C$ 在优弧 $A B$ 上时， $∠ A CB = 6 0^{\circ}$ ；当点 $C$ 在劣弧 $A B$ 上时，由圆内接四边形对角互补得 $∠ A CB = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ 。

为什么

同一条弦所对的圆周角有两个互补的值，分别对应优弧与劣弧上的动点；未指明点在哪段弧上时，必须分两支讨论。

容易误以为

在 $△ A BC$ 中， $A (0, 0), B (3, 1)$ ，以 $A B$ 为直角边向形外作等腰直角 $△ A B D$ （ $∠ B A D = 9 0^{\circ}, A D = A B$ ），不看 $C$ 的位置直接把 $A B = (3, 1)$ 逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ 得 $D (- 1, 3)$ 。

应当这样想

向量 $A B = (3, 1)$ 绕 $A$ 旋转 $\pm 9 0^{\circ}$ 有两个方向：逆时针得 $D_{1} (- 1, 3)$ （位于有向直线 $A B$ 左侧），顺时针得 $D_{2} (1, - 3)$ （位于右侧）。若 $C$ 在 $A B$ 左侧（如 $C (0, 2)$ ），“向形外作”应选与 $C$ 异侧的 $D_{2} (1, - 3)$ ，否则 $D_{1}$ 会落入 $△ A BC$ 同侧。

为什么

平面直角坐标系中逆时针与顺时针旋转公式符号相反；遇到“向三角形外（或内）作正方形/正三角形”时，要先用行列式或叉积判断第三顶点在边的哪一侧，再选定旋转方向。

容易误以为

在锐角 $△ A BC$ 中， $A = 6 0^{\circ}$ ，外接圆半径 $R = 1$ ，求 $b + c$ 的取值范围：由 $b + c = 2 (sin B + sin C) = 23 sin (B + 3 0^{\circ})$ 及 $0^{\circ} < B < 12 0^{\circ}$ ，得 $b + c \in (0, 23]$ 。

应当这样想

锐角三角形要求三个内角都小于 $9 0^{\circ}$ ：由 $0^{\circ} < B < 9 0^{\circ}$ 且 $0^{\circ} < C = 12 0^{\circ} - B < 9 0^{\circ}$ ，得 $3 0^{\circ} < B < 9 0^{\circ}$ ，从而 $6 0^{\circ} < B + 3 0^{\circ} < 12 0^{\circ}$ ， $sin (B + 3 0^{\circ}) \in (\frac{3}{2}, 1]$ ，故 $b + c \in (3, 23]$ 。

为什么

用角参数化三角形边长或面积时，“锐角三角形”同时限制了 $B$ 与 $C = π - A - B$ 两个角，参数区间通常会比一般三角形 $(0, π - A)$ 收缩一大截。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

1. 在

△ A BC

中，已知

sin A = sin 2 B

，则关于角

A

与

B

的关系，下列判断正确的是：A. 必有

A = 2 B

B. 必有

A + 2 B = π

，即

△ A BC

为等腰三角形C.

A = 2 B

或

A = π - 2 B

，且两支在附加条件（如

B < \frac{π}{4}

）下都可能构成合法三角形D. 因

2 B

可能大于

π

，故只可能是

A = π - 2 B

3. 平面上两条相交直线

A B

与

C D

交于点

P

，已知线段长满足

P A \cdot PB = PC \cdot P D = 12

。要判定

A, B, C, D

四点共圆，还需满足：A. 不需要任何额外条件，线段乘积相等即可保证四点共圆B. 必须要求

A B = C D

C. 点

P

必须同时在线段

A B

与

C D

的内部，或同时在两线段的外部（即有向线段之积

P A \cdot PB = PC \cdot P D

同号）D. 必须要求

A B ⊥ C D

从这里开始

先检查几何位置，再筛选解

知识要点

方法卡

坐标法

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：中点连线

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：垂足

五、容易错在哪

边角互化（正弦、余弦定理消元）

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：两边夹角

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：对角边比

五、容易错在哪

面积法

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：中点面积

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：内切半径

五、容易错在哪

圆幂与根轴

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：求切线长

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：圆心距离

五、容易错在哪

切线长参数化（内切圆题）

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：三四五三角形

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：反求半径

五、容易错在哪

相似与共圆转角

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：直径圆

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道

例 2：平行截线

五、容易错在哪

向量、旋转与中心为原点

一、是什么

先认识这些量

为什么这样做

先看一道例题

例 1：直角旋转

二、什么时候想到它

三、怎么用

四、再做一道