2026 年四川预赛

思路

二进赋值 $v_2(t)$ 是2整除整数 $t$ 的次数；本题 $v_2(5^r-1)=2+v_2(r)$ 可由奇数指数和逐次平方证明。特征根法是线性递推工具，也可猜出显式式后逐项代回并由初值唯一性确认。乘法阶与欧拉函数用于界定周期。

想法从哪来：完全剩余系最直接的判据是前 $m$ 项两两不同，先把递推转成便于比较两项之差的显式表达式。 特征多项式分解后得到指数型项，两项差包含 $5^{j-i}-1$。试模2的幂时，这个差中因子2的个数能精确跟踪指标差，正好排除碰撞。 反过来，含奇因子的模数可能有较短周期。因为公式分母为4，必须寻找 $5$ 模 $4m$ 的周期，而非只看模 $m$。阶小于 $m$ 就能在指定前 $m$ 项里制造碰撞；底数5不互素的情形要先另行排除。

先由前缀和递推求出 $a_n=(5^n-1)/4$。若模数是 $2$ 的幂，两个不同项之差的 二进赋值恰等于指标差的二进赋值，可直接证明互异；若模数含奇因子，则利用 $5$ 在 模 $4m$ 下的乘法阶制造前 $m$ 项中的碰撞。