2012 年中科大少年班初试 · 第 15 题

解答

每场比赛有两对搭档，所以 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ 必为偶数，等价于 $n\equiv 0$ 或一模四。下面证明充分性。 若 $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$，把人标为 $\infty$ 与模 $n-1$ 的各剩余类。对每个 $t$，安排一轮搭档

有限标号均模 $n-1$ 运算。它们覆盖本轮每人恰一次。每一有限搭档 $\{u,v\}$ 的轮号由 $2t=u+v$ 唯一决定，因模数为奇数，二可逆；含无穷标号的搭档也恰出现一次。每轮有 $n/2$ 对，是偶数，任意两两分组就是双打比赛。 若 $n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$，人标为模 $n$ 的剩余类，每轮 $t$ 取搭档 $\{t+j,t-j\}$，$1\le j\le (n-1)/2$，只让 $t$ 轮空。相同的中点论证保证每一对搭档恰出现一次，而每轮的搭档数也为偶数，可以两两组成比赛。 所以凡实际举行至少一场双打时，人数恰为 $\boxed{n\ge 4,n\equiv 0\text{ 或 }1(\mathrm{mod}4)}$。若原题也允许零场的空安排，则 $\boxed{n=1}$ 另满足所有二人搭档的空条件；此边界不需要额外比赛构造。