易混 2010 年辽宁预赛 第 13 题 · P010513
两题都在闭区间上控制二次函数的上下值，顶点与两个端点共同决定极差。要消去一次项和常数项，可比较端点与中点的二阶差分；但含参函数的顶点不一定就是区间中点。
一题逐段比较端点以求实际极差，另一题利用三点差分直接限制区间长度；不能未经检查就把中点当作极小点。
培玉 · 一试
2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题
F3解答题不等式的证明
设 为实数，已知不等式 对所有 成立。证明：。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
单独使用两个端点会留下参数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
加入中点，并对端点值作二阶差分，可恰好消去一次项和常数项，只留下区间长度。
解答
若 ，结论直接成立；以下设 。令 ，。三个点 都在 内，故
直接展开得
由于 ，开方得到 。
复核
取 ，则 ，且区间长度恰为 ，上界不能缩小。
方法总结
含任意一次参数的二次式可用端点与中点的二阶差分消参；使用函数值的上下界时，注意差分系数的正负。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需主动选端点和中点的二阶差分消去两参数，转化以后上界计算直接。
联系 · 2 条
同一骨架 2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 5 题 · P007139
等距位置产生的二次关系，可以用恰当的函数值或点积值线性组合消去多余参数。先写出这种组合的恒等式，再代入已知值或上下界，常比求出所有坐标及系数更简洁。
前题从四点等距共线展开向量，目标可由三个已知点积组合得到；后题专用端点与中点的二阶差分，消去一次项和常数项，使用上下界时还要看系数符号。
已记下，谢谢！