垫脚石（相关题 → 此题） 2012 年黑龙江预赛 第 6 题 · P010400
先逐坐标减去给定下界，把分配转为普通非负整数和。再把每个超过上界的事件也看成新的下界，重复平移计数并用容斥合并。
一次平移的题目无需处理交集；上界题则须逐个检查单事件和交集平移后的剩余总和，不能只减三个单事件。
培玉 · 一试
2026 年新疆预赛
三个变量带上界的非负整数解
F2填空题经典的计数模型
在方程
的非负整数解 中，满足
的解的个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先用隔板法计算所有非负整数解，再对三个变量超过各自上界的情形作容斥。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
不加上界时，非负整数解共有
个。
分别记 为 。 平移相应变量后，
两两交集的大小为
三个下界之和为 ，故三重交集为空。由容斥原理，符合条件的解数为
复核
每次平移后剩余总和依次为 ，对应的隔板数均已核对； 三重超界不可能发生，容斥符号为先减单集、再加两两交集。
方法总结
带独立上界的非负整数解计数，先忽略上界使用隔板法，再把 作为坏事件平移变量并容斥。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令yi分别为12−x1、13−x2、14−x3后总和仅9，各自上限自动满足，直接隔板得C(11,2)。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！