2008 年黑龙江预赛 · 第 19 题

解答

缩放并取 $P=(0,0),A=(-1,0),B=(1,0)$，圆方程可写为 $x^2+y^2+vy=1$。先设 $AD,BC$ 的斜率分别为 $u,w$，记 $D_0=(1+u^2)(1+w^2)$、$K=2(1+uw)-v(u-w)$。垂足坐标为 $E=(-u^2,u)/(1+u^2)$、$F=(w^2,-w)/(1+w^2)$，所以 $E+F=(w-u)(u+w,uw-1)/D_0$。将两直线与圆联立，去掉交点 $A,B$ 后得 $C-D=K(uw-1,-u-w)/D_0$。故 $(E+F)\cdot (C-D)=0$，即 $EF$ 的中点 $N=(E+F)/2$ 位于过 $P$ 且垂直 $CD$ 的直线 $PG$ 上。于是题中交点 $M=N$，故 $\boxed{ME=MF}$。若某一侧边竖直，可令相邻的圆上顶点趋于该位置；正交投影和上述点积恒等式连续，结论仍成立。