2012 年湖北预赛 · 第 5 题

解答

先说明所用的辅助圆构造。 设椭圆两焦点为 $F_1,F_2$，$O{F}_1=O{F}_2=c=\sqrt{a^2-b^2}$，以 $O{F}_2$ 为轴的正方向。 对椭圆上任一点 $Q$，设它到该轴的垂足为 $H$，记有向长度 $OH=h$、距离 $QH=d$， $u=Q{F}_2,v=Q{F}_1$。焦点距离和为 $u+v=2a$；分别在两个直角三角形中用勾股定理相减，得

再由 $u^2=(h-c{)}^2+d^2$ 展开，得到

把每个点到主轴的有向垂直距离扩大为原来的 $a/b$ 倍，轴向垂足不动，得到点 $Q^{\prime }$。 则 $O{Q}^{\prime 2}=h^2+(ad/b{)}^2=a^2$，所以各个 $Q^{\prime }$ 都落在以 $O$ 为圆心、$a$ 为半径的辅助圆上。 这个构造是主轴方向不变、垂直方向按同一正比伸缩的平行投影逆变换。

原椭圆关于 $O$ 中心对称，故直径两端 $M,N$ 的像 $M^{\prime },N^{\prime }$ 关于 $O$ 对称， $M^{\prime }{N}^{\prime }$ 是辅助圆的直径。$P^{\prime }$ 与它们都不同，由圆周角定理，

若原两弦的斜率为 $k_1,k_2$，伸缩时同一弦两端的竖直距离差扩大 $a/b$ 倍、水平距离差不变， 故对应弦斜率分别为 $(a/b)k_1,(a/b)k_2$。题设乘积 $-1/3$ 保证两斜率有限且非零， 于是垂直关系给出

所求离心率为