2018 年湖南预赛 · 第 14 题

解答

设 $a_{2j-1}=1+(j-1)d$，$a_{2j}=2q^{j-1}$。由 $S_5=2a_4+a_5$ 得 $d=2q-4$，由 $a_9=a_3+a_4$ 得 $3d=2q$，故 $q=3,d=2$，即 $\boxed{a_{2j-1}=2j-1,a_{2j}=2\cdot 3^{j-1}}$。若 $m=2j-1$，乘积条件成为 $2(2j-1)3^{j-1}=2j+1$；$j=1$ 不成立，$j\ge 2$ 左边至少为 $6(2j-1)>2j+1$。若 $m=2j$，约去正因子后得 $2j+1=3$。所以第二问 $\boxed{m=2}$。再有 $S_{2m}=m^2+3^m-1$，$S_{2m-1}=m^2+3^{m-1}-1$。比值在 $m=1,2$ 分别为三和二，均是数列的项。对 $m\ge 3$，可由 $9>8$ 起归纳 $3^{m-1}>m^2-1$；因此 $S_{2m}/S_{2m-1}=1+2\cdot 3^{m-1}/(m^2+3^{m-1}-1)$ 严格位于二与三之间，而数列没有落在该开区间的项。故第三问所有解为 $\boxed{m\in \{1,2\}}$。