2009 年黑龙江预赛 · 第 9 题

解答

先只选占用的三个座位，再把三位不同观众排入。 把三个占用座位从左到右之间及两端的空位数记为 $x_0,x_1,x_2,x_3$。 “每两人不能相邻”给出 $x_1,x_2\ge 1$；题中“左右至多两个空位” 指每侧连续空位不超过两个，故

这四个整数与占用座位的选择一一对应。分类如下：

1. •

   $x_1+x_2=2$：只有 $(x_1,x_2)=(1,1)$，两端只能为 $(2,2)$，共 $1$ 种；

2. •

   $x_1+x_2=3$：内侧有 $(1,2),(2,1)$，两端有 $(1,2),(2,1)$，共 $4$ 种；

3. •

   $x_1+x_2=4$：内侧只有 $(2,2)$，两端为 $(0,2),(1,1),(2,0)$，共 $3$ 种。

所以占用座位有 $1+4+3=8$ 种，再乘观众的 $3!$ 种排列，得 $\boxed{8\cdot 6=48}$，选 C。四段空隙记录了两端情形，不漏首尾座位。