2011 年河南预赛 · 第 5 题

解答

对棱中点与体积。

设球心为 $O$，$M,N$ 分别为 $AB,CD$ 中点。球心到弦中点的连线垂直于弦，故

从而 $MN\le OM+ON=7$。 利用同高三角形面积比，沿 $AB$ 的中点、再沿 $CD$ 的中点分割体积，得到

若 $A,M,N$ 共线，原四面体体积为 $0$，上界当然成立。否则，以 $AMN$ 为底面，顶点 $C$ 到该平面的距离不超过 $CN=4$；并且

于是

为核验同时取等，在直角坐标系中取

四点到原点的距离均为 $5$，且 $AB=6,CD=8$。此时 $M=(0,0,4),N=(0,0,-3)$，有 $MN=7$、$AM\perp MN$，且 $CN\perp$ 平面 $AMN$，所以前面各上界同时取等。 最大体积为 $\boxed{56}$。上述坐标只验证取等构造，一般上界由前面的几何分割证明。