2017 年辽宁预赛 · 第 4 题

解答

展开得 $7a=3b+4c$。模三给 $c\equiv a(\mathrm{mod}3)$，写 $c=a+3t$，则 $b=a-4t$。这里 $1\le a\le 9,0\le b,c\le 9$。 $t=0$ 时有九组；$t=1$ 时要求 $4\le a\le 6$，有三组；$t=-1$ 时要求 $3\le a\le 5$，也有三组。$t\ge 2$ 时 $a\ge 8$ 但 $c\ge a+6>9$；$t\le -2$ 时 $a\ge 6$ 但 $b\ge a+8>9$，都不可能。因此共有 $\boxed{15}$ 个，选 C。