同一骨架 2022 年全国高中数学联赛一试（A1 卷） 第 5 题 · P007203
先识别某一数列的相邻差是固定常数，再将相邻两项的乘积或其倒数改写为一个差；求和后只留首尾，最后用首尾在等差坐标中的间距消去尺度。
前题原数列等差，裂开的是相邻乘积的倒数；后题倒数数列等差，裂开的是相邻原项的乘积。两题的公差位于不同坐标，不能直接互换符号。
培玉 · 一试
2015 年山西预赛 · 第 6 题
F2填空题数列的和
已知数列 的各项为互异正数，且其倒数构成等差数列，则
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
倒数为等差数列，使相邻两项乘积恰好等于原项差除以固定公差。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设 ，公差为 。互异保证 ，且 。所以分子为 。再除以 ，结果为 。
复核
各 为正，所用分母均非零。公式只需要公差非零，不应在约去公差前遗漏互异条件。首尾倒数相差正好 。
方法总结
倒数等差可把相邻项乘积转成相邻原项差，从而首尾约消。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
倒数等差的非零公差把相邻原项乘积变成差，先裂项后以首尾倒数差约去公差。
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