2008 年山西预赛 · 第 8 题

解答

记三边依次为 $p=t^2+t+1,q=t^2-1,r=2t+1$。正性要求 $t>1$；此时 $p-q=t+2>0$、$p-r=t(t-1)>0$，所以 p 最大。又 $q+r-p=t-1>0$，保证三角形非退化。直接展开得 $p^2=q^2+r^2+qr$，故最大角余弦为 $(q^2+r^2-p^2)/(2qr)=-1/2$，最大内角为 $\boxed{120^{\circ }}$。