2018 年天津预赛 · 第 10 题

解答

令 $u=x-4,v=y-2$。圆约束等价于 $u^2+v^2+8u+4v=0$，而目标式为 $42+10u+5v+uv$。所以在圆上 $42-(xy+8x+y)=\frac{5}{4}(u^2+v^2)-uv=\frac{3}{4}(u^2+v^2)+\frac{1}{2}(u-v{)}^2\ge 0$。在 $u=v=0$，即 $(x,y)=(4,2)$ 时等号成立，故最大值为 $\boxed{42}$。