2021 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 8 题

解答

设 $\Omega$ 是满足“$p,q$ 互素且 $pq\mid 3600$”的正有理数 $p/q$ 全体。对素数 $2$（指数上限 $4$）：$p,q$ 中的指数 $(a,b)$ 满足 $\min (a,b)=0$、$a+b\le 4$，共 $1+2\cdot 4=9$ 种；同理素数 $3,5$（指数上限 $2$）各 $1+2\cdot 2=5$ 种。故 $|\Omega |=9\cdot 5\cdot 5=225$。$r\in \Omega$ 当且仅当 $1/r\in \Omega$，唯一与自身配对的是 $r=1$。其余 $224$ 个元素两两配对，每对恰有一个属于 $(0,1)$，所以所求个数为 $\frac{225-1}{2}=\boxed{112}$。