2010 年黑龙江预赛 · 第 19 题

解答

由 $S_1=4$ 得 $S_2=18,a_2=14$。对相邻递推作差，得到 $a_{n+1}=3a_n+2$；首个下标也已由 $a_2$ 验证。因此 $a_n+1=5\cdot 3^{n-1}$，即 $\boxed{a_n=5\cdot 3^{n-1}-1}$，并有 $S_n=\frac{5}{2}(3^n-1)-n$。求导后 $b_n={\sum }_{i=1}^n(n+1-i)a_i={\sum }_{k=1}^n{S}_k$，于是 $\boxed{b_n=\frac{5\cdot 3^{n+1}-2n^2-12n-15}{4}}$。又 $b_{n+1}-b_n=S_{n+1}>0$，所以 $\boxed{\{b_n\}\text{严格递增}}$。