2026 年重庆预赛

思路

Stern 数列是本题借用的课外模型，不要求预先记住名字：从 $s_0=0,s_1=1$ 出发，规定 $s_{2m}=s_m$、$s_{2m+1}=s_m+s_{m+1}$。每次计算都把下标约减半。其相邻比值是否适用，仍须用这两条定义证明。

想法从哪来：先把整数部分与小数部分改写为同一个变量的式子。 试算前八项，再减去 $1$，得到 $0,1,1/2,2,1/3,3/2,2/3,3$。与其猜 $a_n$ 的通项，不如把这些数写成分子、分母相邻的分数，观察奇偶下标能否折半。 记 $r_n=a_n-1$，原递推变成 $r_{n+1}=1/(1+2[r_n]-r_n)$。这提示寻找相邻比值满足的恒等式；Stern 递推正好把偶数下标复制、奇数下标相加。先验证比值恒等式，再归纳接回原递推，不能由前几项相同直接断言通项。

直接迭代会产生一列看似无规律的有理数。把 $a_n-1$ 写成 Stern 二进制数列相邻项之比， 可以把含整数部分的迭代转成只需按奇偶折半的递推。