2021 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 8 题

解答

排列中同时出现 9 和 12，当且仅当 $1,9$ 相邻，且 $\{2,6\}$ 与 $\{3,4\}$ 至少有一对相邻。把相邻的一对“捆绑”：设 $N_1$ 为 $1,9$ 相邻且 $2,6$ 相邻的排列数，$N_2$ 为 $1,9$ 相邻且 $3,4$ 相邻的排列数，$N_3$ 为三对都相邻的排列数。则 $N_1=2^2\cdot 8!$，$N_2=2^2\cdot 8!$，$N_3=2^3\cdot 7!$。由容斥，所求排列数 $N=N_1+N_2-N_3=8\cdot 8!-8\cdot 7!=8\cdot 7!(8-1)=7\cdot 8!$。故概率 $\frac{7\cdot 8!}{10!}=\boxed{\frac{7}{90}}$。