2025 年云南预赛

解答

记

其中第一个等号由同圆中的等弦 $AB=BC$ 得到。由圆内接四边形的对角互补，分别在三角形 $ABD$、$BCD$ 中表示另两个对角，可得

令 $\theta =\angle DBF$。若 $F=A$ 或 $F=E$，则 $\angle ADF$ 与 $\angle BDF$ 中一个为 $0^{\circ }$、另一个为 $\alpha$，不可能相等；故 $F$ 在线段 $AE$ 的内部，射线 $BF$ 位于 $\angle ABD$ 内，从而

题设角关系给出

结合（1），

在三角形 $ADB$ 中，直线 $AE,BF,DP$ 共点于 $F$。由三角形正弦形式的塞瓦定理，

又因 $DF$ 平分 $\angle ADB$，第三个比值等于 $1$。由三角形 $ADE$ 与 $ABE$ 的面积比，

所以

把它代入（3），再在三角形 $ADB$ 中使用正弦定理，得到

由（2）及恒等式

式（4）化为

同圆中弦长与其所对圆周角的正弦成正比，因此

而由（1），$\sin (\beta +2\alpha )=\sin \gamma$。代入（5），并注意 $\sin \beta >0$，得

下面确定 $\beta$。令 $S=\beta +\gamma =180^{\circ }-2\alpha$。由（6），

从而

又 $\sin \beta =3\sin \gamma =3\sin (S-\beta )$，故

另一方面，由（6），

这里 $\alpha /2$ 与 $\beta$ 都是锐角，故由（7）（8）可知

在三角形 $DBP$ 中，因 $P$ 在线段 $AB$ 上，

又因 $DP$ 与角平分线 $DF$ 共线，

由（9）知 $\angle DPB=90^{\circ }$，所以