2021 年山东预赛

解答

要使对数有意义，$a>0$ 且 $a\ne 1$。由 $x\le a^x$，

函数 $\varphi (x)=\ln x/x$ 在 $x=e$ 处取得最大值 $1/e$，故必要且充分条件为

即

在此范围 $a>1$，而 ${\log }_{a}x\le x$ 取自然对数形式后同样是 $\ln x\le x\ln a$，故确实同时成立。

若两图象交于 $(x,y)$，则

由已经证明的全域不等式，第一式给 $y\ge x$，第二式给 $x\ge y$，所以 $x=y$。交点必须满足 $a^x=x$，即

在 $\ln a\ge 1/e$ 下，只有 $a=e^{1/e}$ 时可取等，且 $x=e$。因此两图象有交点当且仅当

交点为 $(e,e)$。