2010 年安徽预赛 · 第 4 题

解答

题给曲线为椭圆，故 $t>1$。在双曲线 $xy=1$ 上，$x\ne 0,y=1/x$；令 $X=x^2>0$，代入椭圆左边得

等号当且仅当 $X=\sqrt{(t+1)/(t-1)}$。 $h$ 在这个 $X$ 之前严格递减、之后严格递增，且两端趋于正无穷；因此最小值大于 $1$ 时无交点，小于 $1$ 时在每个分支有两个相异交点，大于及小于极小点处的导数均不为零，交点均为横截。 只有最小值等于 $1$ 时可能相切，故 $2/\sqrt{t^2-1}=1$，即 $t=\sqrt{5}$。 反过来，此时等号处 $X^2=(t+1)/(t-1)$。椭圆切线斜率为 $-(t-1)x/((t+1)y)$，双曲线斜率为 $-1/x^2$；用 $y=1/x$ 和上述等式可知两斜率相等，故两个对称交点确为切点。因此 $\boxed{t=\sqrt{5}}$。