垫脚石（相关题 → 此题） 2023 年浙江预赛 · P006630
先在重心构型中用各顶点的线性权重求截线分点，再把相同写法用于不等面积给出的加权点；交点确定后，体积比仍可由同一组权重计算。
前题的等权关系来自重心，后题必须按各子三角形对应的对顶点取权重，并另核两条截线上的分点顺序。
培玉 · 一试
2026 年新疆预赛
面内点面积坐标与四面体体积比
F3填空题立体几何综合
已知四面体 ，点 在 内，满足
点 在线段 上，直线 交平面 于点 ，且
则四面体 与 的体积之比为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
面积比就是点 在三角形 内的面积坐标。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
用四面体的仿射坐标表示 ，线段分点与直线穿过平面的比例都会转化为同一个坐标的线性变化。
解答
在四面体 中按顶点 取仿射坐标。由给定面积比，
令
则
而 的 坐标为 。
由于 依次共线且 在平面 上，沿线段 的 坐标从 线性降到 ，故
由题设，
解得
由式 (1)，
又 ，所以 ，从而
四面体体积在仿射变换下按坐标行列式变化。由式 (1)、式 (2)，
因此所求体积之比为
复核
的三个面积坐标之和为 ， 的三个平面坐标之和也为 。 所得 给出 与 ； 行列式计算中共享的顶点 均已保留。
方法总结
面内点的面积比可直接读成重心坐标；空间中的分点、交面和体积比在仿射坐标下都是线性的。 先求坐标再取行列式，能避免依赖四面体的具体形状。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
将A1的三个面积比变成顶点权重，利用P权重读出PG/GM并求G，再以A1到底面的高比和ABM面积比得到体积比。
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