垫脚石（相关题 → 此题） 2025 年上海预赛 · P006374
先把范数和理解成受约束动点到定点的距离和，再为全局下界构造真实取等点，是从反射法向加权距离的一步延伸。
向量题两项同权、动点在整直线上，可反射拉直；空间题权重不同且动点在整平面，须让两个加权单位方向的切向分量相消，不能只证一条线上的最小。
培玉 · 一试
2023 年四川预赛
F3填空题空间角与距离
在直三棱柱 中，
是平面 上一动点，则
的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把底面放在坐标平面内。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
为两个距离各选取在预期等号点方向上的单位向量，用数量积下界相加；两个向量的平面分量恰好抵消，得到与动点无关的下界。
解答
取
令 为 的中点，即
定义单位向量
以及
对平面 上任意 ，由数量积不超过模长，
这里 ，故含 的项完全抵消。
当 时，
等号成立。因此最小值为
复核
两辅助向量的模均为 ；等号点 确在平面 上，且 、，两次数量积估计同时取等。
方法总结
若干加权距离在某点达到平衡时，可取从各定点指向该点的单位向量作线性下界。只要加权后的平面分量和为零，下界便与动点位置无关。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
可先把P投影到AC而不增两段距离，再在直线上优化sqrt(3+t²)+(2-t)/2；定位AC中点后用导数或相容支撑向量验证全局下界。
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