易混 2021 年上海预赛 · P007042
两题都出现把参数送入表达式再追问输出或成员条件，但必须区分像与原像：一个内层映射会让不同参数合并，另一个线性映射保留一一对应。先判断覆盖范围和重数，再决定能否直接计数或反解。
配方后的同一输入可能有两个参数表示；线性倍乘在指定参数集上没有这种重合。
培玉 · 一试
2025 年重庆预赛
倍乘集合与逆像集合的交集
F1填空题集合与简易逻辑
设集合
则 的元素个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
直接设交集中的元素为 ：属于 使它可写成 ， 属于 又要求 落在 中。
思路
把两个条件合并后，交集元素与 建立一一对应。
解答
若 ，由 ，存在 使
又由 ，有 ，故
因此 。
反过来，对每个 ，令 。显然 ，且
所以 。于是
其中共有
个元素。
复核
映射 在正整数上为单射，因此 给出 个不同 元素。边界 时 ；而 时 ， 所以计数端点准确。
方法总结
两个由同一基础集合经倍乘与逆像得到的集合求交时，最好不要先分别列出全部元素。 设交集元素并依次翻译两个成员条件，通常可把问题化为一个原参数的整除或范围限制； 最后证明反向包含，即可得到精确的一一对应和元素个数。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
令交集元素为3k即得到9k≤2025，定义已直接给出两次倍乘关系，计数直接。
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