2017 年湖南预赛 · 第 11 题

解答

令 $t=x/2\in [0,\pi /2]$，记 $s=\sin t,c=\cos t$，则 $s,c\ge 0$。因此 $\sqrt{1+\sin x}=s+c$，$\sqrt{1-\sin x}=|c-s|$。原式等价于 $3s=s+c-|c-s|=2\min (s,c)$。若 $0\le t\le \pi /4$，则 $s\le c$，得到 $3s=2s$，故 $t=0$。若 $\pi /4\le t\le \pi /2$，则 $3s=2c$；$t=\pi /2$ 显然不满足，其余可除以正 c 得 $\tan t=2/3$，却与 $\tan t\ge 1$ 矛盾。所以唯一解是 $x=0$，故 $\boxed{\tan x=0}$。