2024 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 9 题

解答

由条件，$\sin A+\cos A=\sin B+\cos B$。和差化积得到

由于 $A,B>0$ 且 $A+B<\pi$，第一因子为零等价于 $A=B$，第二因子为零等价于 $A+B=\pi /2$。 若 $A+B=\pi /2$，则 $C=\pi /2$，而 $A$ 为锐角，$\sin A+\cos A>0=2\cos C$，矛盾。 故 $A=B=t\in (0,\pi /2)$，$C=\pi -2t$。原条件化为

因 $\sin t+\cos t>0$，约去该因子后有 $\sin t-\cos t=1/2$，从而

故由原式 $2\cos C=\sin t+\cos t$，得到 $\boxed{\cos C=\sqrt{7}/4}$。