培玉 · 一试

专题地图 › 多项式

2026 年四川预赛

含指定二次因式的整系数四次多项式极值

F3填空题多项式

设 $a, b, c$ 为整数，若方程

x^{2} - 2 x - 1 = 0

的根都是方程

x^{4} + a x^{2} + b x + c = 0

的根，则 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

两根包含关系转成首一二次因子整除，缺三次项固定商的一次系数，剩余三个系数压成一个整数变量后求最小值。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：多项式系数的赋值与加权求和、有理根与整系数整除

专题卡：两个多项式恒等或只求部分系数：比较系数，代入特殊值、整系数多项式的根：用整除缩小可能的根