2017 年黑龙江预赛 · 第 21 题

解答

（1）设焦点为 $(0,a)$，准线 $y=-a$。给定点到准线距离为 $4+a=5$，所以 $a=1$，抛物线为 $\boxed{x^2=4y}$。（2）焦点 $F=(0,1)$，圆以它为中心、半径一。若焦弦方向角为 $\theta$，沿两向的焦半径为 $r=2/(1-\sin \theta ),s=2/(1+\sin \theta )$，两交点条件排除竖直方向。按给定顺序 $AC=r-1,BD=s-1$，相乘得 $\boxed{AC\cdot BD=1}$。（3）写 $A=(2t,t^2),B=(2u,u^2)$，焦弦条件 $tu=-1$。令 $v=t+u$，两切线交点为 $M=(v,-1)$，弦为 $y=vx/2+1$。弦长 $AB=v^2+4$，点 $M$ 到弦的距离为 $\sqrt{v^2+4}$。两三角形共用此高，底长之和 $AC+BD=AB-2=v^2+2$，所以面积和为 $(v^2+2)\sqrt{v^2+4}/2$，最小在 $v=0$，得到 $\boxed{2}$。