一试训练题

解答

当 $n=1$ 时，不存在小于 $1$ 的正整数；当 $n=2$ 时，小于 $2$ 的正整数只有 $1$，不能组成二元集合；当 $n=3$ 时，唯一可能的三元集合是 $\{1,2,3\}$，但子集 $\{1,2\}$ 与 $\{3\}$ 的元素和相等。因此 $n\le 3$ 均不合要求。

当 $n=4$ 时，取

它的全部子集和为

彼此不同，且四个元素都小于 $8=2^{4-1}$。

下面作归纳。设 $S_n$ 已满足条件，定义

它有 $n+1$ 个正整数，且由 $s<2^{n-1}$ 得

若 $S_{n+1}$ 的两个子集和相等，比较奇偶性可知两个子集要么都含 $1$，要么都不含 $1$。同时删去可能出现的 $1$，再把等式除以 $2$，便得到 $S_n$ 的两个子集和相等。由归纳假设，这两个子集相同，故原来的两个子集也相同。

因此从 $n=4$ 起都存在所需集合，全部答案为