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幂指对

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

幂、指数和对数之间可以互相转换，但每次转换都带着底数、真数与新变量的范围。先确定合法分支，再选公共值、同底幂或对数坐标；遇到参数题，还要区分“对所有输入成立”和“至少有一个输入成立”。多值结果须保留全部可实现分支，最值与根数则要核临界点能否取到。

1. 先修与破题直觉 先复习实数幂、指数函数与对数定义，看到对数先圈出底数和真数。以 $lo g_{x - 1} (3 - x)$ 为例，合法条件是 $x - 1 > 0$ 、 $x - 1 \neq = 1$ 、 $3 - x > 0$ ，合起来得到 $x \in (1, 2) \cup (2, 3)$ 。先得到允许输入的范围，再开始换底、比较或解方程。

2. 核心条件辨析 对数底数分两支：大于 $1$ 时递增，介于 $0$ 与 $1$ 之间时递减。解 $lo g_{1/2} (x - 1) > - 1$ ，先有 $x > 1$ ；因底数小于 $1$ ，比较后得到 $x - 1 < (1/2)^{- 1} = 2$ ，故解集为 $(1, 3)$ 。不等号翻向来自单调性，不能只看式子外观。

3. 典型误区对比 把 $t = 2^{x}$ 当成任意实数会多出伪根： $2^{x}$ 始终为正，方程 $2^{x} = - 1$ 在实数域无解。把下界当最小值也会误判：实数域上 $2^{x} > 0$ 且可任意接近 $0$ ，但取不到 $0$ ，所以没有最小值。换元后既要检查新变量的范围，也要检查边界能否实现。

4. 方法迁移带练 把指数方程迁移为代数方程：对 $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ ，令 $t = 2^{x} > 0$ ，得 $(t - 1) (t - 4) = 0$ 。两根都在新变量范围内，再还原为 $x = 0$ 、 $x = 2$ ；回代原式分别为 $1 - 5 + 4 = 0$ 、 $16 - 20 + 4 = 0$ 。对应“统一底数并逐层还原”，每层都保留范围，不能在代数求根处就停止。

5. 分级真题实战 先完成下方概念自测，逐项核底数、真数、单调方向与量词；再从本页方法卡例题选题。基础轮用“定义域、底数分支与合法根”排除非法输入；进阶轮用“公共值、互反与换底链”或“对数坐标中的线性与二次结构”化简；综合轮用“量词、有效根数与临界点”区分存在与任意。按题页实际难度递进，最后把新变量根逐个还原并回代，注明不可取的边界。

先修（培玉高中数学）：指数指数函数对数对数函数幂函数基本不等式二次函数与一元二次方程、不等式导数在研究函数中的应用

知识要点

定义域先于对数运算

实对数 $lo g_{a} u$ 要求 $a > 0, a \neq = 1, u > 0$ ；多层对数须从内到外逐层检查。例： $lo g_{x - 1} (3 - x)$ 同时要求 $x > 1, x \neq = 2, x < 3$ ，定义域为 $(1, 2) \cup (2, 3)$ 。把正底实数幂写成 $a^{t} = e^{t l n a}$ 时也须保留 $a > 0$ ；倒数表达式还要另排分母为零。

底数决定不等号方向与函数值符号

当 $a > 1$ 时，指数与对数都严格递增；当 $0 < a < 1$ 时则严格递减。例： $lo g_{1/2} u > 1$ 等价于 $0 < u < 1/2$ ，不能反写成 $u > 1/2$ 。对数值大于零也须分底数：前一类要求真数大于 $1$ ，后一类要求真数在 $(0, 1)$ ，不能只检查真数为正。

换底把多个底数连成少量参数

合法底数下有 $lo g_{a} u = ln u / ln a$ 。若 $a, b > 0$ 且均非 $1$ ，则 $lo g_{a} b lo g_{b} a = 1$ ；换底链还给 $lo g_{a} b lo g_{b} c = lo g_{a} c$ ，后式只需 $c > 0$ 。例： $lo g_{2} 8 \cdot lo g_{8} 16 = 3 \cdot (4/3) = 4$ 。约分前先核对数值能否为零，不要由底数为正就认为对数值也为正。

换元要同步记录新变量的真实范围

对于 $a > 0, a \neq = 1$ ，令 $t = a^{x}$ 且 $x \in R$ ，则 $t$ 取遍 $(0, + \infty)$ ；若令 $s = lo g_{a} x$ 且 $x > 0$ ，则 $s$ 取遍实数。例：令 $t = 2^{x}$ 、 $v = t + 1 > 1$ ，有 $(t^{2} + 6) / (t + 1) = v + 7/ v - 2 \geq 27 - 2$ ，在 $v = 7$ 时取到，须确认对应 $t = 7 - 1 > 0$ 。

同一严格单调函数的同值只能同源

两道方程不一定要分别求根。若换元后成为同一严格单调函数的相同函数值，就能直接比较输入。例： $H (t) = t + ln t$ 在 $t > 0$ 上有 $H^{'} (t) = 1 + 1/ t > 0$ ，又 $H (1) = 1$ ，所以 $H (t) = 1$ 的唯一解为 $t = 1$ 。使用唯一性前，必须确认两个新变量都落在该函数的同一单调区间。

对数坐标中的正负都可能合法

正数取对数后可为任意实数，不可擅加非负条件。例： $x > 0$ 且 $x^{l g x} = 100$ ，令 $s = l g x$ ，则 $1 0^{s^{2}} = 100$ ，得到 $s = \pm 2$ ，所以 $x = 1 0^{2}$ 或 $1 0^{- 2}$ 。两者均合法。交叉幂取对数后常出现平方和、两两乘积与完全平方，开平方时仍要反验全部分支。

全称、存在与开端点的临界规则不同

先把参数与输入分开，再按量词取最值或上下确界。例： $0 < t < 1$ 时，要求 $k < t$ 对所有 $t$ 成立，得到 $k \leq 0$ ；只要求存在一个 $t$ 成立，则得到 $k < 1$ 。前者在 $k = 0$ 仍严格成立，因为区间不含零；若把输入域改为 $[0, 1]$ ，全称条件就变成 $k < 0$ 。参数端点必须回代量词。

比较幂指对先找符号、单调与严格界

同底幂按指数比较，同指数的正底幂也须看指数的正负或是否为零；剩余关系可取对数或构造辅助函数。靠近的数量不宜用截断小数判断。例： $e^{t} > 1 + t$ 对 $t > 0$ 成立，取 $t = 1/4$ 得 $e^{1/4} > 5/4$ ，由对数递增又得 $ln (5/4) < 1/4$ 。若用导数比较，先写明所用单调区间。

方法卡

含对数的题：先写定义域，底数不确定就分大于 1 和小于 1

对数有三条硬限制：底数是正数、底数不等于 $1$ 、真数是正数。先把限制写下来，底数不确定就分两种情况，算完再代回限制检查。

完整讲解 · 例题 · 可练 36 题

一、是什么

三条限制从哪来

$lo g_{a} u = y$ 的意思是 $a^{y} = u$ ，其中 $a$ 叫底数， $u$ 叫真数。底数为负时很多幂没有实数值，底数为 $1$ 时 $1^{y}$ 永远是 $1$ ，所以要求 $a > 0, a \neq = 1$ 。正数的幂总是正数，所以 $u > 0$ 。例如 $lo g_{x - 1} (5 - x)$ 要求 $x > 1, x \neq = 2, x < 5$ 。

有几层就查几层

从里往外查，还要加上根号和分母的要求。 $lo g_{2} (lo g_{3} x)$ 要求 $x > 0$ 且 $lo g_{3} x > 0$ ，合起来是 $x > 1$ 。 $lo g_{2} (x - 1)$ 要求 $lo g_{2} (x - 1) \geq 0$ ，即 $x - 1 \geq 1$ ，所以 $x \geq 2$ 。

底数决定不等号的方向

看两个底数的算式： $lo g_{2} 2 = 1 < lo g_{2} 4 = 2$ ，真数变大，对数变大； $lo g_{1/2} 2 = - 1 > lo g_{1/2} 4 = - 2$ ，真数变大，对数反而变小。所以 $a > 1$ 时 $lo g_{a} u > c$ 等价于 $u > a^{c}$ ； $0 < a < 1$ 时 $lo g_{a} u > c$ 等价于 $0 < u < a^{c}$ 。

去掉对数后要代回

由 $lo g_{a} M = lo g_{a} N$ 得到 $M = N$ 时， $M, N$ 是否为正已经看不出来了，所以解出来的数要代回原式检查。例如 $l g (x - 3) = l g (1 - x)$ 去掉对数得 $x - 3 = 1 - x$ ， $x = 2$ ；代回，真数 $x - 3 = - 1$ 是负数，所以原方程无解。这里 $l g$ 表示底为 $10$ 的对数。

先看一道例题

例 1：求定义域

求 $y = lo g_{x - 3} (7 - x)$ 的定义域。

怎么看出来：

未知数同时在底数和真数里，三条限制都要写。

解：

底数为正： $x > 3$ 。底数不为 $1$ ： $x \neq = 4$ 。真数为正： $x < 7$ 。三者取交集。检查端点： $x = 3$ 时底数为 $0$ ， $x = 7$ 时真数为 $0$ ， $x = 4$ 时底数为 $1$ ，都不能取。

答案：

$(3, 4) \cup (4, 7)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
底数或真数里有未知数，如 $lo g_{x - 3} (7 - x)$	列出底数正、底数不为 $1$ 、真数正，再取交集
底数是字母，且要比较大小，如 $lo g_{a} \frac{3}{4} < 1$	分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 两种情况
几个对数相加，或去掉对数后得到二次方程	解完代回，检查每个真数是否为正（见进阶“合并对数后的定义域”）
分段函数的方程，如 $x \leq 0$ 和 $x > 0$ 用不同的式子	每段分别解，结果要落在这一段的范围内（见进阶“分段函数”）
定义域恰好是给定的区间，且它的边界是有限数，由根号里或真数里的连续式子决定	这个式子在边界处等于 $0$ ，先求参数再查两侧（见进阶“由定义域反求参数”）
含参的对数方程，问有几个根	按参数符号写定义域，把每个根放进去检查（见进阶“含参方程数根”）
$l g g (x)$ 的定义域或值域是全体实数	定义域要 $g$ 恒为正；值域要 $g$ 取遍所有正数（见进阶“全实定义域、值域与最值”）
$lo g_{a} g (x)$ 有最大值或最小值	按底数定方向，再看 $g (x)$ 的最值，并且要求 $g (x) > 0$ （见进阶“全实定义域、值域与最值”）
真数形如 $x^{2} + 1 - x$	它总是正数，并且乘 $x^{2} + 1 + x$ 得 $1$ （见进阶“奇偶性”）

三、怎么用

写限制：每层底数正且不为 $1$ ，每层真数正，根号里非负，分母不为零。例如解 $lo g_{a} 2 < 1$ ，要求 $a > 0, a \neq = 1$ ，真数 $2$ 已经是正数。
把常数写成同底的对数，底数含字母时分两种情况。这里 $1 = lo g_{a} a$ ，所以原式是 $lo g_{a} 2 < lo g_{a} a$ ，分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 。
去掉对数，注意不等号方向，结果和这种情况的范围取交集。 $a > 1$ 时方向不变，得 $2 < a$ ，交集是 $a > 2$ ； $0 < a < 1$ 时方向相反，得 $2 > a$ ，交集是 $0 < a < 1$ 。
代回检查。 $a = 3$ 时 $lo g_{3} 2 < 1$ ，成立； $a = \frac{1}{2}$ 时 $lo g_{1/2} 2 = - 1 < 1$ ，成立； $a = 1.5$ 不在结果里， $lo g_{1.5} 2 \approx 1.71 > 1$ ，确实不成立。
合并各情况，再逐个查端点。 $a = 2$ 时 $lo g_{2} 2 = 1$ ，不小于 $1$ ，不能取； $a = 1$ 时底数不合法。答案是 $0 < a < 1$ 或 $a > 2$ 。

四、再做一道

例 2：底数是字母

已知 $lo g_{a} \frac{3}{4} < 1$ ，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

底数 $a$ 不确定，不等号方向也不确定，所以分两种情况。

解：

把 $1$ 写成 $lo g_{a} a$ 。当 $a > 1$ ：对数递增，得 $\frac{3}{4} < a$ ，与 $a > 1$ 取交集仍是 $a > 1$ 。当 $0 < a < 1$ ：对数递减，得 $\frac{3}{4} > a$ ，所以 $0 < a < \frac{3}{4}$ 。检查： $a = \frac{1}{2}$ 时 $lo g_{1/2} \frac{3}{4} \approx 0.415 < 1$ ，成立； $a = 0.9$ 时 $lo g_{0.9} \frac{3}{4} \approx 2.73 > 1$ ，不成立。

答案：

$0 < a < \frac{3}{4}$ 或 $a > 1$ 。

五、容易错在哪

底数是正数不代表底数大于 $1$ ，比较大小前要先分情况。
乘积为正时，两个因子可能都是负数，不能直接认为每个因子都为正。
真数必须严格大于 $0$ ，等于 $0$ 的点不能算进定义域。
对数值可以是负数， $lo g_{a} x$ 为负并不代表 $x$ 不符合要求。
约去一个式子之前，要先讨论它等于 $0$ 的情况。

进阶：合并对数后的定义域

运算法则可能改变定义域

$l g [x (x - 1)]$ 只要求乘积为正，即 $x < 0$ 或 $x > 1$ ； $l g x + l g (x - 1)$ 却要求每个真数都为正，即 $x > 1$ 。同样， $lo g_{2} (x^{2})$ 在 $x \neq = 0$ 时有意义，它等于 $2 lo g_{2} ∣ x ∣$ ，不能写成 $2 lo g_{2} x$ 。这些写法只在两边都有意义的范围内相等。

例 3：三个对数，合并后代回

解方程 $l g (x - 1) + l g (x + 2) = l g (x + 7)$ 。

怎么看出来：

左边两个对数相加可以合并成乘积，但合并后定义域变宽，所以解出来要代回每个真数。

解：

定义域： $x - 1 > 0, x + 2 > 0, x + 7 > 0$ ，合起来是 $x > 1$ 。合并得 $l g [(x - 1) (x + 2)] = l g (x + 7)$ ，所以 $(x - 1) (x + 2) = x + 7$ ，展开得 $x^{2} + x - 2 = x + 7$ ，即 $x^{2} = 9$ ， $x = 3$ 或 $x = - 3$ 。 $x = - 3$ 不满足 $x > 1$ ，舍去。检查： $x = 3$ 时左边 $l g 2 + l g 5 = 1$ ，右边 $l g 10 = 1$ ，成立。

答案：

$x = 3$ 。

进阶：奇偶性 · 先修：奇函数

真数看着可能为负，要证明它总是正数

$x^{2} + 1 - x$ 看起来可能为负，但 $x^{2} + 1 > x^{2} = ∣ x ∣ \geq x$ ，所以它总是正数。又因为 $(x^{2} + 1 - x) (x^{2} + 1 + x) = 1$ ，所以 $f (x) = l g (x^{2} + 1 - x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = l g 1 = 0$ ，即 $f (- x) = - f (x)$ ，这样的函数叫奇函数。

例 4：分式的真数

设 $f (x) = l g \frac{1 - x}{1 + x}$ 。求定义域，判断奇偶性，并解不等式 $f (x) > - 1$ 。

怎么看出来：

真数是分式，它为正要看分子分母的符号。把 $x$ 换成 $- x$ 后分式正好上下颠倒，对数变号； $f (- x) = - f (x)$ 的函数叫奇函数。

解：

定义域： $\frac{1 - x}{1 + x} > 0$ ，得 $- 1 < x < 1$ ，它关于原点对称。奇偶性： $f (- x) = l g \frac{1 + x}{1 - x} = - f (x)$ ，所以 $f$ 是奇函数。不等式： $- 1 = l g \frac{1}{10}$ ， $l g$ 递增，所以 $\frac{1 - x}{1 + x} > \frac{1}{10}$ 。在定义域内 $1 + x > 0$ ，两边乘它，不等号方向不变，得 $10 - 10 x > 1 + x$ ，即 $x < \frac{9}{11}$ 。与定义域取交集。

答案：

定义域为 $(- 1, 1)$ ； $f$ 是奇函数；不等式的解是 $- 1 < x < \frac{9}{11}$ 。

进阶：由定义域反求参数 · 先修：连续函数

给定定义域，反求参数

如果函数的定义域恰好是 $(- \infty, 1]$ ，根号里的式子在 $x \leq 1$ 时非负、在 $x > 1$ 时为负。当根号里的式子是连续曲线时，它从非负变到负要经过 $0$ ，所以端点 $x = 1$ 处的值必须是 $0$ 。对数的真数也一样：定义域的有限边界由连续的真数决定时，真数在边界处等于 $0$ 。由此先求出参数，再检查两侧的符号。

例 5：由定义域求两个参数

函数 $f (x) = l g (4^{x} + a \cdot 2^{x} + b)$ 的定义域恰好是 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ ，求 $a, b$ 。

怎么看出来：

定义域由真数大于 $0$ 决定，有 $2$ 个边界，所以真数在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处都等于 $0$ ，正好列 $2$ 个方程。

解：

设 $t = 2^{x} > 0$ ，真数为 $t^{2} + a t + b$ 。 $x = 0, x = 1$ 分别对应 $t = 1, t = 2$ ，所以 $1, 2$ 是 $t^{2} + a t + b = 0$ 的两根， $t^{2} + a t + b = (t - 1) (t - 2) = t^{2} - 3 t + 2$ 。再检查： $(t - 1) (t - 2) > 0$ 且 $t > 0$ ，就是 $0 < t < 1$ 或 $t > 2$ ，即 $x < 0$ 或 $x > 1$ ，正好符合。

答案：

$a = - 3, b = 2$ 。

进阶：含参方程数根

含参方程：按参数符号定范围，再逐个查根

方程 $l g (k x) = l g (x + 1)$ 要求 $k x > 0$ 且 $x + 1 > 0$ 。 $k > 0$ 时 $x > 0$ ； $k < 0$ 时 $- 1 < x < 0$ 。去掉对数后，把解出的每个根放到这些范围里检查。若得到二次方程， $2$ 个根也要逐个检查，所以恰有一个根不等于判别式为零，可能是 $2$ 个根里只有 $1$ 个符合。

例 6：含参方程按符号数根

关于 $x$ 的方程 $l g (k x) = l g (x + 1)$ 恰有一个实根，求 $k$ 的范围。

怎么看出来：

去掉对数后是一次方程，看起来总有根。但根要满足定义域，定义域又随 $k$ 的符号变化。

解：

去掉对数得 $k x = x + 1$ ，只要 $x + 1 > 0$ ， $k x > 0$ 就自动成立。 $k = 1$ 时方程无解。 $k \neq = 1$ 时只有 $x = \frac{1}{k - 1}$ ，要求 $x > - 1$ 。 $k > 1$ 时 $x > 0$ ，符合。 $0 \leq k < 1$ 时 $k - 1 \in [- 1, 0)$ ， $x \leq - 1$ ，不符合。 $k < 0$ 时 $k - 1 < - 1$ ，所以 $- 1 < x < 0$ ，符合。检查： $k = - 1$ 时 $x = - \frac{1}{2}$ ，两边都是 $l g \frac{1}{2}$ ； $k = \frac{1}{2}$ 时 $x = - 2$ ，真数为负，不成立。

答案：

$k < 0$ 或 $k > 1$ 。

进阶：全实定义域、值域与最值

对数函数的单调性和最值

$y = lo g_{a} g (x)$ 由里外两层组成。 $a > 1$ 时外层递增， $y$ 跟着 $g$ 同向变化； $0 < a < 1$ 时外层递减，方向相反。例如 $lo g_{1/2} (x^{2} + 1)$ 在 $x = 0$ 处取最大值 $0$ ，没有最小值。 $a > 1$ 时还要看真数：若 $g$ 的最小值为正， $y$ 的最小值就是 $lo g_{a}$ 这个最小值；若二次式的最低点不是正数，真数能从正数一侧任意接近 $0$ ， $y$ 就可以任意小，没有最小值，不能直接代最低点。

例 7：定义域和值域都是全体实数

设 $y = l g (x^{2} + 2 x + a)$ 。(1) 定义域是全体实数，求 $a$ 的范围；(2) 值域是全体实数，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

(1) 要求真数对每个 $x$ 都为正。(2) 要求真数能取遍所有正数。两个要求不同，都看二次式的最小值 $a - 1$ 。

解：

真数 $g (x) = (x + 1)^{2} + a - 1$ ，最小值是 $a - 1$ 。(1) 每个 $x$ 都要 $g (x) > 0$ ，所以 $a - 1 > 0$ 。(2) $y$ 要取遍全体实数， $g$ 就要取遍所有正数，包括任意接近 $0$ 的正数，所以 $g$ 的最小值不能大于 $0$ ，即 $a - 1 \leq 0$ 。此时定义域不再是全体实数，这没有关系，只要在定义域内 $g$ 取遍所有正数。检查： $a = 1$ 时 $g = (x + 1)^{2}$ ，在 $x \neq = - 1$ 时取遍所有正数； $a = 2$ 时 $g \geq 1$ ， $y \geq 0$ ，取不到负数。

答案：

(1) $a > 1$ ；(2) $a \leq 1$ 。

进阶：分段函数

分段的方程和不等式

分段函数每一段的式子只在这一段的范围内才算数。所以每段分别解，解出来的结果和这一段的范围取交集，最后把各段合并。

例 8：分段不等式

设 $f (x) = 2^{- x}$ （ $x \leq 0$ ）， $f (x) = lo g_{2} x$ （ $x > 0$ ）。解不等式 $f (x) > 1$ 。

怎么看出来：

两段的式子不同，分别解，再和这一段的范围取交集。

解：

当 $x \leq 0$ ： $2^{- x} > 1 = 2^{0}$ ， $2^{y}$ 递增，所以 $- x > 0$ ，即 $x < 0$ ，与 $x \leq 0$ 的交集是 $x < 0$ 。当 $x > 0$ ： $lo g_{2} x > 1 = lo g_{2} 2$ ，底数大于 $1$ ，所以 $x > 2$ ，与 $x > 0$ 的交集是 $x > 2$ 。合并两段。检查： $x = - 1$ 时 $f = 2 > 1$ ； $x = 0$ 时 $f = 1$ ，不成立； $x = 4$ 时 $f = 2 > 1$ ； $x = 1$ 时 $f = 0$ ，不成立。

答案：

$x < 0$ 或 $x > 2$ 。

真题

按这个方法练 · 36 题

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底数互为幂的指数对数题：换成同一个底，再一层层还原

$4, 8, 16$ 都是 $2$ 的幂。先把底数换成同一个，方程就只剩一个未知量；有几层就从外往里一层层去掉。

完整讲解 · 例题 · 可练 29 题

一、是什么

换底：不同的底变成同一个底

换底公式是 $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ 。原因：设 $y = lo g_{a} b$ ，则 $a^{y} = b$ ，两边取底为 $c$ 的对数，得 $y lo g_{c} a = lo g_{c} b$ 。由它得到 $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ ，前提是 $a > 0, a \neq = 1, b > 0, n \neq = 0$ 。例如 $lo g_{4} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ ， $lo g_{8} (4 x) = \frac{1}{3} (2 + lo g_{2} x)$ 。

设一个公共的未知量

设 $t = lo g_{2} x$ ，因为 $x > 0$ 时 $t$ 可以是任何实数，所以原来的方程就成了关于 $t$ 的普通方程。例如 $lo g_{2} x + lo g_{4} x = 3$ 变为 $t + \frac{t}{2} = 3$ ，所以 $t = 2$ ， $x = 4$ 。

指数方程变成二次方程

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ ，所以 $4^{x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 = 0$ 设 $t = 2^{x} > 0$ 后变成 $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ ，即 $(t - 2) (t - 4) = 0$ 。 $t = 2$ 给 $x = 1$ ， $t = 4$ 给 $x = 2$ 。新变量 $t$ 必须为正，负根要舍去。

先看一道例题

例 1：统一底数

解方程 $lo g_{2} x + lo g_{4} x + lo g_{8} x = 11$ 。

怎么看出来：

$4, 8$ 都是 $2$ 的幂，换成底 $2$ 后只剩一个未知量。

解：

设 $t = lo g_{2} x$ ，则 $lo g_{4} x = \frac{t}{2}$ ， $lo g_{8} x = \frac{t}{3}$ 。方程为 $\frac{11}{6} t = 11$ ，所以 $t = 6$ ， $x = 2^{6} = 64$ 。检查： $6 + 3 + 2 = 11$ ，成立。

答案：

$x = 64$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
底数是 $2, 4, 8$ 或 $3, 9, 27$ 这样的同一个数的幂	全部换成最小的那个底，设 $t = lo g_{2} x$
同时出现 $4^{x}$ 和 $2^{x}$	设 $t = 2^{x} > 0$ ，变成二次方程
同时出现 $9^{x}, 6^{x}, 4^{x}$ ，各项次数相同	两边除以 $4^{x}$ ，设 $t = (\frac{3}{2})^{x} > 0$ （见进阶“次数相同的指数式”）
$ln (\dots) = 2 x + \dots$ ，对数和一次式混在一起	把 $2 x$ 写成 $ln e^{2 x}$ ，合并后去掉 $ln$ （见进阶“常数写成对数”）
幂的指数上还有幂，如 $2^{4^{m}}$	两边化成同底，比较外层指数（见进阶“多层指数与对数”）
对数里还有对数，如 $lo g_{2} lo g_{4} x$	设最里层的 $u = lo g_{2} x$ ，把各层都写成 $u$ 的式子（见进阶“多层指数与对数”）
若干对数成等差数列或等比数列	列中项式，解出后算出每一项再检查（见进阶“数列条件”）

三、怎么用

写定义域：每个真数都为正，多层时从里往外查。例如解 $lo g_{2} x + lo g_{4} x = 3$ ，要求 $x > 0$ 。
选一个公共的底，用 $lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b$ 全部换过来。这里选底 $2$ ： $lo g_{4} x = \frac{1}{2} lo g_{2} x$ 。
设新变量：对数设 $t = lo g_{a} x$ ，指数设 $t = a^{x} > 0$ 。这里设 $t = lo g_{2} x$ ，方程变为 $t + \frac{t}{2} = 3$ 。
解关于新变量的方程，舍去不在范围内的根。这里 $\frac{3}{2} t = 3$ ， $t = 2$ 。如果是指数换元， $t \leq 0$ 的根要舍去。
还原成原来的未知数并代回原式检查。由 $t = 2$ 得 $x = 2^{2} = 4$ ；代回， $lo g_{2} 4 + lo g_{4} 4 = 2 + 1 = 3$ ，成立。

四、再做一道

例 2：换底后比较真数

解方程 $lo g_{2} x = lo g_{4} (x + 6)$ 。

怎么看出来：

右边的底 $4$ 是 $2$ 的平方。换成底 $2$ 后两边同底，就能比较真数。

解：

定义域： $x > 0$ 且 $x + 6 > 0$ ，合起来是 $x > 0$ 。右边 $= \frac{1}{2} lo g_{2} (x + 6)$ 。两边乘 $2$ ，得 $2 lo g_{2} x = lo g_{2} (x + 6)$ ，即 $lo g_{2} x^{2} = lo g_{2} (x + 6)$ ，所以 $x^{2} = x + 6$ ，即 $(x - 3) (x + 2) = 0$ 。 $x = - 2$ 不满足 $x > 0$ ，舍去。检查： $x = 3$ 时右边 $lo g_{4} 9 = lo g_{2} 3$ ，等于左边。

答案：

$x = 3$ 。

五、容易错在哪

$lo g_{a^{n}} b$ 换底时是除以 $n$ ，不是乘 $n$ 。
$2^{4^{m}}$ 是 $2$ 的 $4^{m}$ 次方，不是 $(2^{4})^{m}$ ，多层幂要从上往下读。
多层对数的里层也必须为正， $lo g_{2} (lo g_{4} x)$ 要求 $x > 1$ ，不只是 $x > 0$ 。
指数换元 $t = 2^{x}$ 后，负根要舍去。
等比中项的式子成立不代表真的是等比数列，要检查有没有零项。
真数带平方时不能直接换： $lo g_{4} x^{2} = lo g_{2} ∣ x ∣$ ，不是 $lo g_{2} x$ 。

进阶：次数相同的指数式

底数次数相同的指数式

若出现 $9^{x}, 6^{x}, 4^{x}$ ，它们的底数满足 $6^{2} = 9 \cdot 4$ 。两边除以 $4^{x}$ （它是正数，不等号方向不变），再设 $t = (\frac{3}{2})^{x} > 0$ ，就有 $(\frac{9}{4})^{x} = t^{2}$ ， $(\frac{6}{4})^{x} = t$ 。

例 3：次数相同的指数不等式

解不等式 $9^{x} + 6^{x} > 2 \cdot 4^{x}$ 。

怎么看出来：

$9, 6, 4$ 依次是 $3^{2}, 3 \cdot 2, 2^{2}$ ，各项次数相同，除以 $4^{x}$ 后只剩一个未知量。

解：

两边除以 $4^{x}$ （它是正数，方向不变）。设 $t = (\frac{3}{2})^{x} > 0$ ，得 $t^{2} + t - 2 > 0$ ，即 $(t + 2) (t - 1) > 0$ 。 $t + 2$ 总是正数，所以 $t > 1$ ，即 $(\frac{3}{2})^{x} > (\frac{3}{2})^{0}$ 。底数大于 $1$ ，所以 $x > 0$ 。检查： $x = 1$ 时 $15 > 8$ ，成立； $x = - 1$ 时左边 $\frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{5}{18}$ ，右边 $\frac{1}{2}$ ，不成立。

答案：

$x > 0$ 。

进阶：多层指数与对数

多层的指数和对数：从外往里

$2^{A} = 2^{B}$ 只要比较指数，得 $A = B$ 。 $lo g_{2} A = lo g_{2} B$ 只要比较真数。若里层底数不同，先统一里层： $lo g_{16} m = \frac{1}{4} lo g_{2} m$ 。

例 4：多层指数不等式

解不等式 $(\frac{1}{4})^{2^{m}} > (\frac{1}{2})^{4^{m}}$ 。

怎么看出来：

两边都能写成 $\frac{1}{2}$ 的幂。底数小于 $1$ ，比较指数时不等号要反向。

解：

左边 $= (\frac{1}{2})^{2 \cdot 2^{m}}$ 。 $(\frac{1}{2})^{y}$ 递减，所以 $2 \cdot 2^{m} < 4^{m}$ 。两边除以 $2^{m}$ （它是正数），得 $2^{m} > 2$ ，所以 $m > 1$ 。检查： $m = 2$ 时左边 $= (\frac{1}{4})^{4} = \frac{1}{256}$ ，右边 $= (\frac{1}{2})^{16}$ ，更小，成立； $m = 0$ 时左边 $\frac{1}{4}$ ，右边 $\frac{1}{2}$ ，不成立。

答案：

$m > 1$ 。

例 5：多层对数相加

解方程 $lo g_{2} (lo g_{4} x) + lo g_{4} (lo g_{2} x) = 2$ 。

怎么看出来：

里外两层的底数都不同。先设最里层的 $u = lo g_{2} x$ ，再把外层都写成 $lo g_{2} u$ ，两项就能合并。

解：

设 $u = lo g_{2} x$ ，真数都要为正，所以 $u > 0$ ，即 $x > 1$ 。 $lo g_{2} (lo g_{4} x) = lo g_{2} \frac{u}{2} = lo g_{2} u - 1$ ， $lo g_{4} u = \frac{1}{2} lo g_{2} u$ 。设 $v = lo g_{2} u$ ，得 $v - 1 + \frac{v}{2} = 2$ ，所以 $v = 2$ ， $u = 4$ ， $x = 16$ 。检查： $lo g_{2} (lo g_{4} 16) = lo g_{2} 2 = 1$ ， $lo g_{4} (lo g_{2} 16) = lo g_{4} 4 = 1$ ，和为 $2$ 。

答案：

$x = 16$ 。

进阶：常数写成对数 · 先修：自然对数 ln

常数和 x 也可以写成对数

$ln$ 表示底为 $e$ 的对数， $e \approx 2.718$ ，所以 $ln e^{x} = x$ 。 $ln (e^{x} + 6) = 2 x$ 可以写成 $ln (e^{x} + 6) = ln e^{2 x}$ 。去掉 $ln$ 得 $e^{x} + 6 = e^{2 x}$ ，设 $t = e^{x} > 0$ ，得 $t^{2} - t - 6 = 0$ ，即 $(t - 3) (t + 2) = 0$ ，只有 $t = 3$ 为正，所以 $x = ln 3$ 。

进阶：幂相等比较指数

指数相同就开方比较

$a^{2 b} = (3 a)^{b}$ （ $a, b > 0$ ）里，指数都带 $b$ 。两边开 $b$ 次方，得 $a^{2} = 3 a$ ， $a$ 是正数，所以 $a = 3$ 。代回： $3^{2 b} = 9^{b}$ ，成立。

进阶：数列条件 · 先修：等差数列、等比数列

数列条件要回到数列检查

等差数列是相邻两项的差都相同，等比数列是相邻两项的比（叫公比）都相同，且没有零项。所以 $A, B, C$ 成等差时 $B - A = C - B$ ，即 $2 B = A + C$ ；成等比时 $\frac{B}{A} = \frac{C}{B}$ ，即 $B^{2} = A C$ 。等比中项的式子只是必要条件，因为 $0, 0, 0$ 也满足它，却不是等比数列。所以解完要算出这 $3$ 项，确认没有零项。

例 6：中项式成立也可能不是等比

是否存在正数 $x$ ，使 $lo g_{2} x, lo g_{4} x, lo g_{8} x$ 成等比数列？成等差数列呢？

怎么看出来：

$3$ 项都是 $t = lo g_{2} x$ 的倍数。列中项式后，还要回到数列检查。

解：

设 $t = lo g_{2} x$ ， $3$ 项是 $t, \frac{t}{2}, \frac{t}{3}$ 。等比的中项式是 $\frac{t ^{2}}{4} = \frac{t ^{2}}{3}$ ，只能 $t = 0$ ，此时 $3$ 项都是 $0$ ，而等比数列不能有零项，所以不成等比。等差的中项式是 $2 \cdot \frac{t}{2} = t + \frac{t}{3}$ ，也只能 $t = 0$ ，此时 $0, 0, 0$ 是公差为 $0$ 的等差数列， $x = 1$ 。

答案：

不存在 $x$ 使它们成等比数列；只有 $x = 1$ 时成等差数列。

进阶：两个未知数的方程组

例 7：两个未知数

正数 $a, b$ 满足 $lo g_{2} a + lo g_{4} b = 5$ ， $lo g_{4} (ab) = 3$ ，求 $a, b$ 。

怎么看出来：

换成底 $2$ 后，这是关于 $lo g_{2} a, lo g_{2} b$ 的一次方程组。

解：

设 $p = lo g_{2} a, q = lo g_{2} b$ 。第一式为 $p + \frac{q}{2} = 5$ 。第二式为 $\frac{1}{2} (p + q) = 3$ ，即 $p + q = 6$ 。两式相减， $\frac{q}{2} = 1$ ，所以 $q = 2, p = 4$ ， $a = 16, b = 4$ 。检查： $4 + 1 = 5$ ； $lo g_{4} 64 = 3$ 。

答案：

$a = 16, b = 4$ 。

真题

按这个方法练 · 29 题

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多个对数或幂相等、对数互为倒数：设公共值，用换底连乘消元

几个量都相等时，就设它们都等于同一个字母，把所有未知数用这个字母写出来。互为倒数的对数只算一个未知量。

完整讲解 · 例题 · 可练 20 题

一、是什么

对数相等：设公共值

若 $lo g_{2} x = lo g_{3} y = k$ ，由对数的定义， $x = 2^{k}, y = 3^{k}$ 。这样 $2$ 个未知数都用 $k$ 表示了。 $k$ 可以是正数、 $0$ 或负数，不要提前认定它为正。

互为倒数：只设一个未知量

设 $u = lo g_{a} b$ （ $a, b$ 都是不等于 $1$ 的正数），则 $a^{u} = b$ ， $b \neq = 1$ 保证 $u \neq = 0$ 。两边开 $u$ 次方，得 $a = b^{1/ u}$ ，所以 $lo g_{b} a = \frac{1}{u}$ 。也就是 $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ 。例如 $lo g_{2} 8 = 3$ ， $lo g_{8} 2 = \frac{1}{3}$ 。

幂相等：取对数

若 $2^{a} = 5^{b} = M$ ， $M \neq = 1$ ，由对数的定义， $a = lo g_{2} M, b = lo g_{5} M$ 。取倒数， $\frac{1}{a} = lo g_{M} 2, \frac{1}{b} = lo g_{M} 5$ ，所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = lo g_{M} 2 + lo g_{M} 5 = lo g_{M} 10$ 。若 $M = 1$ ，则 $a = b = 0$ ，不能取倒数。

先看一道例题

例 1：幂相等求倒数和

若 $2^{a} = 5^{b} = 100$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 。

怎么看出来：

几个幂连等，公共值不是 $1$ ，取对数后再取倒数。

解：

$a = lo g_{2} 100$ ， $b = lo g_{5} 100$ ，所以 $\frac{1}{a} = lo g_{100} 2$ ， $\frac{1}{b} = lo g_{100} 5$ 。相加得 $lo g_{100} 10 = \frac{1}{2}$ 。

答案：

$\frac{1}{2}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
几个对数连等，如 $lo g_{2} x = lo g_{4} y = \dots$	设公共值为 $k$ ，写成 $x = 2^{k}, y = 4^{k}$
几个幂连等，如 $3^{a} = 5^{b} = M$	取对数， $\frac{1}{a} = lo g_{M} 3$ ，先确认 $M \neq = 1$
同时出现 $lo g_{a} b$ 和 $lo g_{b} a$	设 $u = lo g_{a} b$ ，得到 $u + \frac{m}{u} = c$ 这样的方程
$lo g_{a} b, lo g_{b} c$ 同时出现，要求 $lo g_{a} c$	连乘消去 $b$ ，只求乘积（见进阶“换底链”）
对数的和等于对数的积	两边除以乘积，把对数倒过来再合并（见进阶“对数的和等于积”）
$a, b$ 是整数，且 $lo g_{a} b$ 取特定的值	写成 $b = a^{n}$ ，按范围数 $a$ 的个数（见进阶“互为倒数后计数”）

三、怎么用

写条件：底数是不等于 $1$ 的正数，真数为正，公共幂值不是 $1$ 。例如 $2^{a} = 3^{b} = 6$ 求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ，公共值 $6 \neq = 1$ ，所以 $a, b$ 都不为 $0$ 。
连等就设公共值；互为倒数就设 $u$ 。这里公共值已经给出，就是 $6$ 。
把每个未知数用公共值写出来。由对数的定义， $a = lo g_{2} 6, b = lo g_{3} 6$ 。
只求题目要的组合。取倒数得 $\frac{1}{a} = lo g_{6} 2, \frac{1}{b} = lo g_{6} 3$ ，相加得 $lo g_{6} 6 = 1$ ，不必算出 $a, b$ 的小数。
代回检查。 $a \approx 2.585, b \approx 1.631$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \approx 0.387 + 0.613 = 1$ ，成立。

四、再做一道

例 2：对数相等，比较大小

正数 $x, y$ 满足 $lo g_{2} x = lo g_{3} y$ 。比较 $\frac{x}{2}$ 和 $\frac{y}{3}$ 的大小。

怎么看出来：

设公共值 $k$ 后两个量都是幂，指数相同、底数不同。指数的正负不确定，所以要分情况，这里不能默认 $k$ 为正。

解：

设公共值为 $k$ ， $x = 2^{k}, y = 3^{k}$ ，所以 $\frac{x}{2} = 2^{k - 1}$ ， $\frac{y}{3} = 3^{k - 1}$ 。两者的比是 $\frac{y /3}{x /2} = (\frac{3}{2})^{k - 1}$ ，而 $(\frac{3}{2})^{n}$ 随 $n$ 增大而增大， $n = 0$ 时等于 $1$ 。所以 $k > 1$ 时比大于 $1$ ， $\frac{x}{2} < \frac{y}{3}$ ； $k = 1$ 时两者都等于 $1$ ； $k < 1$ 时比小于 $1$ ， $\frac{x}{2} > \frac{y}{3}$ 。检查： $k = 2$ 时是 $2$ 和 $3$ ； $k = 0$ 时是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

答案：

$k > 1$ （即 $x > 2$ ）时 $\frac{x}{2} < \frac{y}{3}$ ； $x = 2$ 时相等； $0 < x < 2$ 时 $\frac{x}{2} > \frac{y}{3}$ 。

五、容易错在哪

公共对数值可以是 $0$ 或负数，不要默认它是正数。
公共幂值等于 $1$ 时指数都是 $0$ ，不能再取倒数。
$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} a = 1$ 要求 $a, b$ 都不等于 $1$ ；除以对数之前要确认它不为 $0$ 。
整数计数时，先查端点能否取到，再查两类情况有没有重复。

进阶：换底链

换底链：连乘消去中间的底

$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = \frac{l g b}{l g a} \cdot \frac{l g c}{l g b} = lo g_{a} c$ ，中间的 $l g b$ 约掉了。这里用了换底公式 $lo g_{a} b = \frac{l g b}{l g a}$ 。所以设 $x = lo g_{a} b, y = lo g_{b} c$ ，就有 $lo g_{a} c = x y$ ，这里 $a, b$ 是不等于 $1$ 的正数， $c$ 是正数。若再有 $c \neq = 1$ ，则 $x y \neq = 0$ ，才能倒过来写 $lo g_{c} a = \frac{1}{x y}$ 。题目往往只问这个组合，不需要解出 $a, b, c$ 。

例 3：换底链

不等于 $1$ 的正数 $a, b, c$ 满足 $lo g_{a} b + lo g_{b} c = 5$ ， $lo g_{b} a + lo g_{c} b = \frac{5}{6}$ ，求 $lo g_{c} a$ 。

怎么看出来：

第二个式子是第一个式子两项的倒数。目标 $lo g_{c} a$ 只和两个对数的乘积有关。

解：

设 $x = lo g_{a} b, y = lo g_{b} c$ ，则 $x + y = 5$ ， $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y} = \frac{5}{6}$ ，所以 $x y = 6$ 。又 $lo g_{a} c = x y = 6$ ，所以 $lo g_{c} a = \frac{1}{6}$ 。检查能否实现： $a = 2, b = 4, c = 64$ 时， $lo g_{2} 4 + lo g_{4} 64 = 2 + 3 = 5$ ， $lo g_{4} 2 + lo g_{64} 4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ ， $lo g_{64} 2 = \frac{1}{6}$ ，都成立。

答案：

$lo g_{c} a = \frac{1}{6}$ 。

进阶：对数的和等于积

同除以乘积，把对数倒过来

$lo g_{2} c + lo g_{3} c = lo g_{2} c \cdot lo g_{3} c$ 里，如果 $c \neq = 1$ ，每个对数都不为 $0$ ，两边除以右边的乘积，就得到 $lo g_{c} 3 + lo g_{c} 2 = 1$ ，即 $lo g_{c} 6 = 1$ ，所以 $c = 6$ 。

例 4：对数的和等于积

$c > 0$ 且 $c \neq = 1$ ， $lo g_{2} c + lo g_{3} c = lo g_{2} c \cdot lo g_{3} c$ ，求 $c$ 。

怎么看出来：

和等于积，除以乘积就能把对数倒过来，再合并。

解：

$c \neq = 1$ ，所以 $lo g_{2} c, lo g_{3} c$ 都不为 $0$ 。两边除以它们的乘积，得 $\frac{1}{lo g _{3} c} + \frac{1}{lo g _{2} c} = 1$ ，即 $lo g_{c} 3 + lo g_{c} 2 = 1$ ，所以 $lo g_{c} 6 = 1$ ， $c = 6$ 。检查：用换底公式，左边和右边都等于 $\frac{( l g 6 ) ^{2}}{l g 2 \cdot l g 3}$ ，成立。

答案：

$c = 6$ 。

进阶：互为倒数后计数

得到整数幂关系后计数

解出 $lo g_{a} b = 2$ 就是 $b = a^{2}$ 。如果 $a, b$ 是某个范围内的整数，要按范围数有多少个 $a$ 符合，并查清不同情况是否会数重。例如 $a, b$ 是 $2$ 到 $30$ 的整数， $b = a^{2}$ 时 $a = 2, 3, 4, 5$ ，有 $4$ 个； $b = a^{3}$ 时 $a = 2, 3$ ，有 $2$ 个。 $a \geq 2$ 时 $a^{2} \neq = a^{3}$ ，所以不重复，共 $6$ 个。

进阶：互为倒数的不等式

例 5：互为倒数，解不等式

解不等式 $lo g_{2} x - 2 lo g_{x} 2 > 1$ 。

怎么看出来：

$lo g_{2} x$ 和 $lo g_{x} 2$ 互为倒数，设 $u$ 后是分式不等式。 $u$ 可正可负，不能直接两边乘 $u$ 。

解：

定义域 $x > 0, x \neq = 1$ 。设 $u = lo g_{2} x \neq = 0$ ，不等式为 $u - \frac{2}{u} > 1$ ，移项通分得 $\frac{( u - 2 ) ( u + 1 )}{u} > 0$ 。三个因子的零点是 $- 1, 0, 2$ ，把数轴分成四段，分别看符号： $u < - 1$ 时三个因子都为负，分式为负； $- 1 < u < 0$ 时 $u - 2$ 和 $u$ 为负、 $u + 1$ 为正，分式为正； $0 < u < 2$ 时只有 $u - 2$ 为负，分式为负； $u > 2$ 时三个因子都为正，分式为正。所以 $- 1 < u < 0$ 或 $u > 2$ 。还原： $\frac{1}{2} < x < 1$ 或 $x > 4$ 。检查： $x = 8$ 时 $3 - \frac{2}{3} > 1$ ，成立； $x = 2$ 时 $1 - 2 < 1$ ，不成立。

答案：

$\frac{1}{2} < x < 1$ 或 $x > 4$ 。

真题

按这个方法练 · 20 题

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未知数既在底数又在指数上：取对数，变成和与积的方程

给每个正数配一个“对数坐标”，例如 $x = 1 0^{p}$ 。乘法变加法，幂变乘积，题目就成了关于 $p, q$ 的普通代数题。

完整讲解 · 例题 · 可练 24 题

一、是什么

对数坐标是什么

对正数 $x$ ，记 $p = l g x$ ，就有 $x = 1 0^{p}$ 。 $p$ 可以是任何实数，所以称它为 $x$ 的对数坐标。这里 $l g$ 表示底为 $10$ 的对数。再对正数 $y$ 记 $q = l g y$ ，就有 $l g (x y) = p + q$ ， $l g (x^{n}) = n p$ 。

底数和指数都含未知数时

$x^{l g y} = (1 0^{p})^{q} = 1 0^{pq}$ 。所以 $x^{l g y} = y^{l g x}$ ，两边都等于 $1 0^{pq}$ 。同样 $x^{l g x} = 1 0^{p^{2}}$ ，它不小于 $1$ 。两边取 $l g$ 后，这些式子就都成了 $p, q$ 的二次式。

正数的对数可以是负数

$x > 0$ 只限制 $x$ ，不限制 $p$ 。若 $p^{2} = 4$ ，那么 $p = 2$ 和 $p = - 2$ 都有可能，分别对应 $x = 100$ 和 $x = \frac{1}{100}$ 。不能因为 $x$ 是正数就舍去负的 $p$ 。

先看一道例题

例 1：变量同时在底数和指数上

解不等式 $x^{l g x} > 100 x$ 。

怎么看出来：

$x$ 在底数上， $l g x$ 在指数上，取 $l g$ 后都成了 $l g x$ 。 $l g$ 递增，不等号方向不变。

解：

$x > 0$ 。设 $s = l g x$ ，两边都是正数，取 $l g$ ： $s^{2} > 2 + s$ ，即 $(s - 2) (s + 1) > 0$ ，所以 $s < - 1$ 或 $s > 2$ 。还原得 $0 < x < \frac{1}{10}$ 或 $x > 100$ 。注意 $s$ 为负也符合。检查： $x = 1000$ 时 $100 0^{3} = 1 0^{9} > 1 0^{5}$ ； $x = \frac{1}{100}$ 时 $(\frac{1}{100})^{- 2} = 1 0^{4} > 1$ ； $x = 1$ 时 $1 > 100$ 不成立。

答案：

$0 < x < \frac{1}{10}$ 或 $x > 100$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
出现 $x^{l g x}$ 、 $x^{l g y}$ 这样的式子	两边取 $l g$ ，设 $p = l g x, q = l g y$
方程两边都是 $x$ 的幂，指数里还有 $lo g_{a} x$	设 $s = lo g_{a} x$ ，得到关于 $s$ 的二次方程
给出 $l g a + l g b + l g c$ 和两两乘积	用和的平方公式，直接求平方和（见进阶“和、积、平方和”）
$l g (2 x) \cdot l g (5 x)$ 这样的乘积	拆成 $l g x$ 加常数，当二次函数看（见进阶“变成二次函数求最值”）
只问 $x y$ 或 $(x y)^{l g (x y)}$	只求 $p + q$ 或 $(p + q)^{2}$ ，不必解出每个坐标（见进阶“和、积、平方和”）
对数坐标开平方	正负两种都要留，再分别检查能否实现（见进阶“和、积、平方和”）

三、怎么用

写条件：所有变量是正数，确定用哪个底。例如解 $x^{l g x} = \frac{100}{x}$ ，要求 $x > 0$ ，底取 $10$ 。
设对数坐标，它可以是任何实数。这里设 $s = l g x$ ， $s$ 可以是负数。
两边取对数，把幂和乘积变成坐标的和与积。这里左边取 $l g$ 得 $s \cdot s = s^{2}$ ，右边得 $2 - s$ ，方程是 $s^{2} = 2 - s$ 。
围绕目标整理，分解后保留所有符号。这里 $s^{2} + s - 2 = (s - 1) (s + 2) = 0$ ，所以 $s = 1$ 或 $s = - 2$ ，负的也要留。
还原成原来的变量并检查。 $x = 10$ 时 $1 0^{1} = 10 = \frac{100}{10}$ ； $x = \frac{1}{100}$ 时 $(\frac{1}{100})^{- 2} = 1 0^{4} = 100 \div \frac{1}{100}$ ，都成立。

四、再做一道

例 2：化简

设 $a, b, c$ 是正数，化简 $a^{l g b - l g c} \cdot b^{l g c - l g a} \cdot c^{l g a - l g b}$ 。

怎么看出来：

每个底数和指数都含未知数。换成对数坐标后，整个式子是 $10$ 的幂，只需算指数。

解：

设 $p = l g a, q = l g b, r = l g c$ ，则 $a = 1 0^{p}$ 等。原式 $= 1 0^{p (q - r) + q (r - p) + r (p - q)}$ 。指数展开是 $pq - p r + q r - pq + p r - q r = 0$ ，所以原式 $= 1 0^{0} = 1$ 。检查： $a = 10, b = 100, c = 1000$ 时， $1 0^{- 1} \cdot 10 0^{2} \cdot 100 0^{- 1} = 1$ 。

答案：

$1$ 。

五、容易错在哪

$x > 0$ 不代表 $l g x > 0$ ； $0 < x < 1$ 时对数坐标是负数。
开平方只取正的一种会丢解，要把两种符号都检查一遍。
只由平方式推出的结果还要证明能实现，例如要检查 $(p - q)^{2} \geq 0$ 。
有 $x > 1$ 这类原有限制时，要写成 $p > 0$ ，不能忘记。

进阶：和、积、平方和

和、积、平方和可以互相换

$(p + q)^{2} = p^{2} + q^{2} + 2 pq$ ， $(p + q + r)^{2} = p^{2} + q^{2} + r^{2} + 2 (pq + q r + r p)$ 。题目给了其中两个，就能求第三个。对正数 $a, b, c$ ，设 $p = l g a, q = l g b, r = l g c$ ，则 $l g a \cdot l g (b c) + l g b \cdot l g (c a) + l g c \cdot l g (ab) = 2 (pq + q r + r p)$ 。

只由方程推出的结果，要证明能取到

从平方关系开方，得到的是必要条件。要说明某个值真的能取到，需要解出一组 $p, q$ ，或者证明 $p, q$ 是实数：有 $p + q$ 和 $pq$ 时，要检查 $(p - q)^{2} = (p + q)^{2} - 4 pq \geq 0$ 。

例 3：开平方后两种符号都要留

正数 $x, y$ 满足 $x^{l g x} y^{l g y} = 1 0^{5}$ ， $(x y)^{l g (x y)} = 1 0^{9}$ 。求 $x^{l g y}$ 和 $x y$ 的所有可能值。

怎么看出来：

两个条件取 $l g$ 后分别给出 $p^{2} + q^{2}$ 和 $(p + q)^{2}$ ，两者一减就是 $2 pq$ 。

解：

设 $p = l g x, q = l g y$ ，取 $l g$ 得 $p^{2} + q^{2} = 5$ ， $(p + q)^{2} = 9$ 。相减得 $2 pq = 4$ ， $pq = 2$ ，所以 $x^{l g y} = 1 0^{pq} = 100$ 。又 $p + q = \pm 3$ 。检查能否实现： $p + q = 3, pq = 2$ 时 $(p, q) = (1, 2)$ ，即 $x = 10, y = 100$ ， $x y = 1000$ ； $p + q = - 3, pq = 2$ 时 $(p, q) = (- 1, - 2)$ ，即 $x = \frac{1}{10}, y = \frac{1}{100}$ ， $x y = \frac{1}{1000}$ 。代回： $1 + 4 = 5$ ， $(1 + 2)^{2} = 9$ ，两组都成立。

答案：

$x^{l g y} = 100$ ； $x y = 1000$ 或 $x y = \frac{1}{1000}$ 。

进阶：变成二次函数求最值

最值：变成二次函数

$x$ 取遍正数时， $s = l g x$ 取遍全体实数，所以 $l g x \cdot l g (100 x) = s (s + 2)$ 可以直接当二次函数看。

例 4：二次函数求最值

求 $f (x) = l g x \cdot l g (100 x)$ （ $x > 0$ ）的最小值。

怎么看出来：

$l g (100 x) = 2 + l g x$ ， $f$ 就是 $l g x$ 的二次函数。

解：

设 $s = l g x$ ， $s$ 取遍全体实数。 $f = s (s + 2) = (s + 1)^{2} - 1 \geq - 1$ ， $s = - 1$ 时取等号，此时 $x = \frac{1}{10}$ 。检查： $l g \frac{1}{10} \cdot l g 10 = - 1$ 。

答案：

最小值是 $- 1$ 。

真题

按这个方法练 · 24 题

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指数和对数混合的方程：写成同一个单调函数，或猜根后证明唯一

严格单调的函数，不同的输入给不同的输出。所以把方程写成 $H (u) = H (v)$ ，就能直接得到 $u = v$ 。根解不出来时，也能靠它确定根的位置和个数。

完整讲解 · 例题 · 可练 26 题

一、是什么

为什么函数值相同，输入就相同

严格单调的意思是输入变大，函数值一定变大（或一定变小）。所以 $u \neq = v$ 时 $H (u) \neq = H (v)$ ，也就是 $H (u) = H (v)$ 推出 $u = v$ 。前提是 $u, v$ 都落在同一段单调的区间内。

两个严格增函数相加

底数大于 $1$ 的指数函数严格递增， $y = t$ 也严格递增。两个严格增函数相加还是严格递增： $t$ 变大时两部分都变大，和一定变大。所以 $H (t) = 2^{t} + t$ 严格递增。底数在 $0$ 和 $1$ 之间的指数函数严格递减，两个减函数相加严格递减。

指对互换，变成同一个函数

$x + 2^{x} = y + lo g_{2} y$ 两边看起来不同。设 $v = lo g_{2} y$ ，则 $y = 2^{v}$ ，右边变成 $2^{v} + v$ ，和左边是同一个函数 $H (t) = t + 2^{t}$ 在不同输入处的值，所以 $v = x$ ，也就是 $y = 2^{x}$ 。不必解出 $x$ ，也得到了 $x, y$ 的关系。如果真数是 $y - 1$ ，就设 $y - 1 = 3^{v}$ ，平移一下。

猜出一个根，再证明没有别的根

$3^{x} + 4^{x} = 5^{x}$ 两边除以 $5^{x}$ ，得 $(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1$ 。左边是两个减函数之和，严格递减，所以最多一个根，而 $x = 2$ 时 $\frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$ ，这就是唯一的根。不除以 $5^{x}$ 时，左右两边都递增，看不出根的个数。

先看一道例题

例 1：同一个函数比较输入

解不等式 $3^{x} + x > 3^{2 - x} + 2 - x$ 。

怎么看出来：

两边结构相同，都是 $H (t) = 3^{t} + t$ 。不用解指数，只比较输入。

解：

不等式就是 $H (x) > H (2 - x)$ 。 $H$ 是两个增函数之和，严格递增，所以 $x > 2 - x$ ，即 $x > 1$ 。检查： $x = 2$ 时左边 $11$ ，右边 $1$ ，成立； $x = 0$ 时左边 $1$ ，右边 $11$ ，不成立； $x = 1$ 时两边相等，不成立。

答案：

$x > 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
一边含 $2^{x}$ ，另一边含 $lo g_{2} y$ ，如 $x + 2^{x} = y + lo g_{2} y$	设 $y = 2^{v}$ （或 $y - 1 = 2^{v}$ ），看是否成为同一个函数
不等式两边结构相同，如 $3^{x} + x$ 和 $3^{2 - x} + 2 - x$	设成同一个单调函数，直接比较输入
求 $x + y$ 或 $x y$ ，但 $x, y$ 都解不出来	不要解，先找 $x, y$ 之间的关系
$a^{x} + b^{x} = c^{x}$ 这种几个指数相加，且 $0 < a < c, 0 < b < c$	两边除以 $c^{x}$ ，得到一个减函数，猜根
几个因子相乘，如 $(x - 1) (2^{x} - 2)$ ，它们在同一点变号	每个乘积非负，和为 $0$ 时逐项为 $0$ （见进阶“同号乘积”）
问零点在哪两个相邻整数之间	证明函数递增，代整数看符号变化（见进阶“零点的位置”）

三、怎么用

写定义域，确定新变量的范围。例如解 $2^{x} + x = 2^{3 - x} + 3 - x$ ， $x$ 可以取任何实数。
把两边写成同一个函数 $H$ 。这里 $H (t) = 2^{t} + t$ ，方程就是 $H (x) = H (3 - x)$ 。含对数时先用 $y = a^{v}$ 改写，或者平移。
证明 $H$ 严格单调。本卡基础题用两个严格增函数相加证明严格递增： $2^{t}$ 和 $t$ 都严格递增，所以 $H$ 严格递增。
由 $H (u) = H (v)$ 得 $u = v$ 。这里 $x = 3 - x$ ，所以 $x = \frac{3}{2}$ 。如果是求根的个数，就猜出一个根，再用单调性排除其他根。
代回检查。 $x = \frac{3}{2}$ 时 $3 - x = \frac{3}{2}$ ，两边都是 $2^{3/2} + \frac{3}{2}$ ，成立。

四、再做一道

例 2：指对互换

实数 $x$ 和正数 $y$ 满足 $x + 2^{x} = y + lo g_{2} y$ ， $x + y = 6$ ，求 $x, y$ 。

怎么看出来：

第一个方程两边都解不开，但结构相似。把 $y$ 写成 $2$ 的幂，就成了同一个函数。

解：

设 $v = lo g_{2} y$ ，则 $y = 2^{v}$ ，第一个方程变为 $x + 2^{x} = v + 2^{v}$ 。函数 $H (t) = t + 2^{t}$ 是两个增函数之和，严格递增，所以 $v = x$ ，即 $y = 2^{x}$ 。代入第二个方程，得 $x + 2^{x} = 6$ ，即 $H (x) = 6$ 。又 $H (2) = 2 + 4 = 6$ ， $H$ 严格递增，所以只有 $x = 2$ ， $y = 4$ 。检查： $2 + 4 = 4 + 2$ ， $2 + 4 = 6$ ，都成立。

答案：

$x = 2, y = 4$ 。

五、容易错在哪

函数不单调，或者两个输入不在同一段单调区间上，就不能由函数值相同推出输入相同。
只猜出一个根不算解完，要用单调性证明没有其他根。
用同号乘积时，要先证明每一项都不小于 $0$ ，再让每一项等于 $0$ 。
换元 $y = a^{v}$ 要同时满足原方程的定义域，例如 $y - 1 > 0$ 。

进阶：乘积形式

乘积形式也可以

$t \cdot 2^{t}$ 在 $t > 0$ 时是两个正的递增函数相乘，所以严格递增。 $y lo g_{2} y$ 设 $y = 2^{v}$ 后变成 $v \cdot 2^{v}$ 。使用前要确认 $v > 0$ ，才能落在这段递增区间内。

例 3：乘积形式的不等式

解不等式 $x \cdot 2^{x} > 8$ 。

怎么看出来：

$x$ 可正可负， $t \cdot 2^{t}$ 只在 $t > 0$ 时能确定递增，所以先分开。再找使等号成立的点。

解：

$x \leq 0$ 时， $x \cdot 2^{x} \leq 0$ ，不成立。 $x > 0$ 时， $t \cdot 2^{t}$ 是两个正的增函数相乘，严格递增，又 $2 \cdot 2^{2} = 8$ ，所以不等式等价于 $x > 2$ 。

答案：

$x > 2$ 。

进阶：同号乘积

同号的乘积不小于零

$x - 1$ 和 $2^{x} - 2$ 总是同号，因为 $2^{x}$ 递增，且 $x = 1$ 时 $2^{x} = 2$ ，所以 $(x - 1) (2^{x} - 2) \geq 0$ ，只在 $x = 1$ 时等于 $0$ 。若干个这样的非负项相加等于 $0$ ，每一项都必须是 $0$ 。

例 4：同号乘积之和为零

解方程 $(x - 1) (2^{x} - 2) + (x^{2} - 1) lo g_{2} x = 0$ 。

怎么看出来：

$x = 1$ 时每个因子都是 $0$ 。 $x$ 在 $1$ 两侧时，每一对因子都同号，所以两项都不会为负。

解：

定义域 $x > 0$ 。第一项： $x > 1$ 时 $x - 1 > 0, 2^{x} - 2 > 0$ ； $0 < x < 1$ 时两者都小于 $0$ ，所以第一项 $\geq 0$ 。第二项： $x > 1$ 时 $x^{2} - 1 > 0, lo g_{2} x > 0$ ； $0 < x < 1$ 时两者都小于 $0$ ，所以第二项 $\geq 0$ 。两个非负的数相加为 $0$ ，每项都是 $0$ 。第一项为 $0$ 只能是 $x = 1$ ，此时第二项也是 $0$ 。

答案：

$x = 1$ 。

进阶：零点的位置 · 先修：连续函数

确定零点在哪两个整数之间

连续且严格递增的函数至多有一个零点；再找到两点的函数值异号，才能证明零点存在且唯一。连续的意思是图像没有断开，指数函数、对数函数和它们的和都是连续的。 $g (x) = 2^{x} + x - 4$ 递增， $g (1) = - 1 < 0$ ， $g (2) = 2 > 0$ ，所以零点在 $(1, 2)$ 内。

进阶：偶函数 · 先修：偶函数

单调的偶函数比较输入

$f (- x) = f (x)$ 的函数叫偶函数。若偶函数 $f$ 在 $[0, + \infty)$ 上严格递增， $a, b$ 都在定义域内，因为 $f (a) = f (∣ a ∣)$ ，所以 $f (a) > f (b)$ 等价于 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$ 。

进阶：用导数判断单调 · 先修：已学导数

用导数判断单调

导数为正的区间上函数递增。不能拆成两个增函数相加时可以用它。例如 $H (t) = 2^{t} - t$ 在 $t \geq 1$ 上， $H^{'} (t) = 2^{t} ln 2 - 1 \geq 2 ln 2 - 1 > 0$ ，所以严格递增。这里只说明用途，求导要先在导数一章学过。

进阶：几个指数相加

例 5：几个指数相加的不等式

解不等式 $6^{x} + 8^{x} > 1 0^{x}$ 。

怎么看出来：

不除以 $1 0^{x}$ 时两边都递增，看不出大小。除以 $1 0^{x}$ 后左边是减函数，先找等号成立的点。

解：

两边除以 $1 0^{x}$ （它是正数，方向不变），得 $(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} > 1$ 。左边是两个减函数之和，严格递减。 $x = 2$ 时左边 $= \frac{9 + 16}{25} = 1$ 。所以 $x < 2$ 时左边大于 $1$ ， $x > 2$ 时左边小于 $1$ 。检查： $x = 1$ 时 $14 > 10$ ，成立； $x = 3$ 时 $216 + 512 = 728 < 1000$ ，不成立。

答案：

$x < 2$ 。

真题

按这个方法练 · 26 题

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指数和对数的最值：换成正数，再用均值不等式或配方

$2^{x}$ 总是正数，所以先把它换成一个正字母，题目就成了普通的分式或二次式。求完最值，一定检查取等号的值能不能取到。

完整讲解 · 例题 · 可练 27 题

一、是什么

换元要记下范围

设 $t = 2^{x}$ ， $t$ 取遍全体正数。设 $s = lo g_{2} x$ ， $s$ 取遍全体实数。 $4^{x} = t^{2}$ ， $2^{x + 1} = 2 t$ 。对数相加先合并： $l g a + l g b = l g (ab)$ ，最值就落到 $ab$ 上。

均值不等式

对正数 $a, b$ ，有 $a + b \geq 2 ab$ ，因为 $a + b - 2 ab = (a - b)^{2} \geq 0$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号。它把和与积联系起来：积固定时，和有最小值；和固定时，积有最大值。

取等号的值要能取到

$(2^{x} + 1) + \frac{1}{2 ^{x} + 1}$ 形式上 $\geq 2$ ，但取等号需要 $2^{x} + 1 = 1$ ，也就是 $2^{x} = 0$ ，而 $2^{x}$ 永远取不到 $0$ 。所以它永远大于 $2$ ； $x$ 往负方向走时 $2^{x}$ 接近 $0$ ，它能任意接近 $2$ ，却没有最小值。

先看一道例题

例 1：指数的积固定

实数 $a, b$ 满足 $2^{a} \cdot 4^{b} = 8$ ，求 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值。

怎么看出来：

$2^{a}, 4^{b}$ 都是正数，它们的积已知，求它们的和，正好用均值不等式。

解：

$2^{a} + 4^{b} \geq 2 2^{a} \cdot 4^{b} = 28 = 42$ 。取等号时 $2^{a} = 4^{b}$ ，又它们的积是 $8$ ，所以 $2^{a} = 4^{b} = 22$ ，即 $a = \frac{3}{2}, b = \frac{3}{4}$ ，能取到。检查： $2^{3/2} \cdot 4^{3/4} = 2^{3} = 8$ ， $22 + 22 = 42$ 。

答案：

最小值是 $42$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$2^{a} + 8^{b}$ 这样的和已知， $a + 3 b$ 要求最值	设 $X = 2^{a}, Y = 8^{b}$ ，和固定时积有最大值
$3^{a} + 3^{b} = 3^{a + b}$ 这样的指数等式	设 $x = 3^{a}, y = 3^{b}$ ，就是 $x + y = x y$ ，用均值不等式（见进阶“指数等式”）
分子分母都是 $4^{x}, 2^{x}$ 的式子	设 $t = 2^{x} > 0$ ，除成 $v + \frac{c}{v}$ 的形式（见进阶“分式除成正数加倒数”）
$l g a + 2 l g b$ 和 $a + b$ 这类和，一个已知、一个要求最值	合成 $l g (a b^{2})$ ，把 $b$ 拆成 $2$ 份，用 $3$ 个数的均值不等式（见进阶“三个数的均值不等式”）
$4^{x} + 4^{- x}$ 和 $2^{x} + 2^{- x}$ 同时出现	设 $u = 2^{x} + 2^{- x} \geq 2$ ，变成二次函数（见进阶“对称式换成一个量”）
$s + \frac{c}{s}$ ，其中 $s$ 是对数	$s$ 可正可负，分两种情况（见进阶“有负的情况”）
根式减一次式求最值	设式子等于 $u$ ，平方后用判别式，再配方（见进阶“根式差”）

三、怎么用

换元：指数换成 $t > 0$ ，对数相加先合并。写清新变量的范围。例如求 $2^{x} + 2^{2 - x}$ 的最小值，设 $t = 2^{x}$ ， $t$ 取遍全体正数。
化简成和或积固定的形式。这里 $2^{2 - x} = \frac{4}{t}$ ，式子是 $t + \frac{4}{t}$ ，两项的积是 $4$ ，固定。
有负的情况先分开，均值不等式只用在正数上。这里 $t$ 和 $\frac{4}{t}$ 都是正数，所以 $t + \frac{4}{t} \geq 24 = 4$ 。
求出界后，写出取等号的条件。这里要 $t = \frac{4}{t}$ ， $t$ 是正数，所以 $t = 2$ 。连用几次时，每次的条件要能同时成立。
还原回原变量，确认这个值能取到。 $t = 2$ 给 $x = 1$ ，此时 $2 + 2 = 4$ ，所以最小值是 $4$ 。取不到时，它不是最值。

四、再做一道

例 2：和固定，求积的最值

实数 $a, b$ 满足 $2^{a} + 8^{b} = 8$ ，求 $a + 3 b$ 的最大值。

怎么看出来：

$2^{a}, 8^{b}$ 都是正数，它们的和已知。 $a + 3 b$ 正好是它们的积的指数，所以和固定求积。

解：

设 $X = 2^{a}, Y = 8^{b} = 2^{3 b}$ ，都是正数，则 $X Y = 2^{a + 3 b}$ 。由 $8 = X + Y \geq 2 X Y$ 得 $X Y \leq 4$ ，所以 $X Y \leq 16 = 2^{4}$ 。 $2^{y}$ 递增，所以 $a + 3 b \leq 4$ 。取等号时 $X = Y = 4$ ，即 $a = 2, b = \frac{2}{3}$ ，能取到。检查： $4 + 4 = 8$ ， $2 + 3 \cdot \frac{2}{3} = 4$ 。

答案：

最大值是 $4$ 。

五、容易错在哪

均值不等式只能用在正数上，有负的情况要先分开。
连用两次不等式时，两次取等号的条件必须能同时成立，否则这个值取不到。
形式上算出的最优值，如果对应的新变量超出范围，就不是真正的最值。
$u = 2^{x} + 2^{- x}$ 的范围是 $u \geq 2$ ，顶点不在范围内时最值要在 $u = 2$ 处取。
比较两个式子的平方之前，要先确认两个式子都非负。

进阶：分式除成正数加倒数

分式：除成正数加它的倒数

求 $\frac{t ^{2} + 3}{t + 1}$ （ $t > - 1$ ）的最小值。设 $v = t + 1$ ，则 $v > 0$ ；分子是 $(v - 1)^{2} + 3 = v^{2} - 2 v + 4$ ，所以原式 $= v + \frac{4}{v} - 2$ 。因为 $v > 0$ ， $v + \frac{4}{v} \geq 4$ ，原式 $\geq 2$ ， $v = 2$ （即 $t = 1$ ）时取等号。 $v > 0$ 这个条件不能少： $t = - 3$ 时 $v = - 2$ ，原式 $= - 6$ ，比 $2$ 小。

进阶：三个数的均值不等式

三个数的均值不等式

对正数 $a, b, c$ ，有 $a + b + c \geq 3 3 ab c$ ，当且仅当 $a = b = c$ 时取等号。原因：把 $a, b, c$ 写成 $u^{3}, v^{3}, w^{3}$ ，则 $u^{3} + v^{3} + w^{3} - 3 uv w = \frac{1}{2} (u + v + w) [(u - v)^{2} + (v - w)^{2} + (w - u)^{2}] \geq 0$ 。

例 3：对数相加，要配系数

$a, b > 0$ ， $l g a + 2 l g b = 5 l g 2$ ，求 $a + b$ 的最小值。

怎么看出来：

合并后是 $a b^{2} = 32$ ，积固定，求和的最小值。 $a, b, b$ 的和是 $a + 2 b$ ，不是目标，所以把 $b$ 拆成 $2$ 个 $\frac{b}{2}$ 。

解：

$a + b = a + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \geq 3 3 a \cdot \frac{b}{2} \cdot \frac{b}{2} = 3 3 \frac{32}{4} = 6$ 。取等号时 $a = \frac{b}{2}$ ，代入 $a b^{2} = 32$ 得 $a = 2, b = 4$ ，能取到。检查： $l g 2 + 2 l g 4 = 5 l g 2$ ， $2 + 4 = 6$ 。

答案：

最小值是 $6$ 。

进阶：对称式换成一个量

对称的式子：t 加 1/t 换成一个量

设 $u = 2^{x} + 2^{- x}$ ，由均值不等式 $u \geq 2$ ，且 $x = 0$ 时取到。 $4^{x} + 4^{- x} = u^{2} - 2$ ，因为 $(2^{x} + 2^{- x})^{2} = 4^{x} + 2 + 4^{- x}$ 。于是式子变成 $u$ 的式子，再看范围 $u \geq 2$ 。二次函数要比较顶点和范围： $u^{2} - 6 u$ 的顶点 $u = 3$ 在范围内，最小值在 $u = 3$ 处取； $u^{2} - 2 u$ 的顶点 $u = 1$ 不在范围内，最小值在 $u = 2$ 处取。

例 4：最值在范围的端点

求 $\frac{2 ^{x} + 2 ^{- x}}{4 ^{x} + 4 ^{- x}}$ 的最大值。

怎么看出来：

分子是 $u = 2^{x} + 2^{- x}$ ，分母是 $u^{2} - 2$ ，式子只和 $u$ 有关，而 $u$ 不能小于 $2$ 。

解：

设 $u = 2^{x} + 2^{- x} \geq 2$ ，原式 $= \frac{u}{u ^{2} - 2} = \frac{1}{u - \frac{2}{u}}$ 。 $u$ 和 $- \frac{2}{u}$ 在 $u > 0$ 时都递增，所以分母 $u - \frac{2}{u}$ 递增且为正（ $u = 2$ 时等于 $1$ ），原式递减。最大值在 $u = 2$ 处取，这时 $x = 0$ ，能取到。检查： $x = 0$ 时原式 $= \frac{2}{2} = 1$ 。

答案：

最大值是 $1$ 。

进阶：有负的情况

有负的情况要先分开

均值不等式只能用在正数上。 $s + \frac{2}{s}$ 里 $s = lo g_{2} x$ 可能为负。 $s > 0$ 时它 $\geq 22$ 。 $s < 0$ 时令 $w = - s > 0$ ，它等于 $- (w + \frac{2}{w}) \leq - 22$ 。

例 5：有负的情况

求 $lo g_{2} x + lo g_{x} 4$ （ $x > 0, x \neq = 1$ ）的取值范围。

怎么看出来：

$lo g_{x} 4 = \frac{2}{lo g _{2} x}$ ，设 $s = lo g_{2} x$ 。 $s$ 可正可负，不能直接用均值不等式。

解：

设 $s = lo g_{2} x$ ， $s \neq = 0$ ，式子是 $y = s + \frac{2}{s}$ 。 $s > 0$ 时， $y \geq 22$ ， $s = 2$ 时取等号。 $s < 0$ 时，令 $w = - s > 0$ ， $y = - (w + \frac{2}{w}) \leq - 22$ ， $s = - 2$ 时取等号。再证明这两段里的值都能取到：由 $y = s + \frac{2}{s}$ 得 $s^{2} - ys + 2 = 0$ ，判别式 $y^{2} - 8 \geq 0$ 时有实根，两根的积是 $2$ ，所以两根同号且都不为 $0$ ；两根的和是 $y$ ，所以 $y \geq 22$ 时两根都为正， $y \leq - 22$ 时两根都为负。每个 $s \neq = 0$ 都对应一个 $x = 2^{s}$ ，所以这些 $y$ 都取得到。

答案：

$(- \infty, - 22] \cup [22, + \infty)$ 。

进阶：根式差

根式差，比较平方后配方

求 $9 y^{2} + 8 - y$ 的最小值时，均值不等式用不上。设它等于 $u$ ，移项后平方，把它看成关于 $y$ 的二次方程，由判别式求出 $u$ 的下界，再用配方证明。下面的例题会完整做一遍。

例 6：根式差

求 $u = 9 y^{2} + 8 - y$ （ $y \geq 0$ ）的最小值。

怎么看出来：

不是两个正数的和，均值不等式用不上。设式子等于 $u$ ，用判别式找下界，再配方证明。

解：

$y \geq 0$ 时 $9 y^{2} + 8 > 3 y \geq y$ ，所以 $u > 0$ 。由 $u + y = 9 y^{2} + 8$ ，两边非负，平方得 $8 y^{2} - 2 u y + 8 - u^{2} = 0$ 。这个关于 $y$ 的方程要有实根，判别式 $4 u^{2} - 32 (8 - u^{2}) = 36 u^{2} - 256 \geq 0$ ，所以 $u \geq \frac{8}{3}$ 。再证明： $9 y^{2} + 8 \geq y + \frac{8}{3}$ ，两边非负，平方后等价于 $8 y^{2} - \frac{16}{3} y + \frac{8}{9} \geq 0$ ，即 $8 (y - \frac{1}{3})^{2} \geq 0$ ，成立。 $y = \frac{1}{3}$ 时取等号： $1 + 8 - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}$ 。

答案：

最小值是 $\frac{8}{3}$ 。

进阶：指数等式

例 7：指数等式

实数 $a, b$ 满足 $3^{a} + 3^{b} = 3^{a + b} - 3$ ，求 $a + b$ 的最小值。

怎么看出来：

设 $x = 3^{a}, y = 3^{b}$ ，它们是正数，条件就是 $x + y = x y - 3$ ，和与积正好用均值不等式。

解：

设 $s = x y > 0$ 。 $x y - 3 = x + y \geq 2 s$ ，所以 $s^{2} - 2 s - 3 \geq 0$ ，即 $(s - 3) (s + 1) \geq 0$ 。 $s + 1 > 0$ ，所以 $s \geq 3$ ， $x y \geq 9$ 。又 $x y = 3^{a + b}$ ， $3^{y}$ 递增，所以 $a + b \geq 2$ 。取等号时 $x = y = 3$ ，即 $a = b = 1$ ，此时 $3 + 3 = 9 - 3$ ，条件成立。

答案：

最小值是 $2$ 。

真题

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含参的指数对数题：恒成立、存在和恰有一个根怎么求

“所有都成立”看最不利的情况，“存在一个成立”看最有利的情况，“恰有一个根”要在真正有效的范围内数交点。参数的边界值，一定代回原题检查。

完整讲解 · 例题 · 可练 20 题

一、是什么

所有和存在，方向相反

设 $g (x)$ 有最大值和最小值。 $k < g (x)$ 对所有 $x$ 成立，要 $k$ 小于 $g$ 的最小值；只要存在一个 $x$ 成立，只要 $k$ 小于 $g$ 的最大值。前者要管住最不利的 $x$ ，后者只需找到最好的 $x$ 。

边界取不到时，等号可能可以取

$x \in (0, 1)$ 时 $2^{x}$ 的取值是 $(1, 2)$ ， $1$ 和 $2$ 都取不到。要 $k < 2^{x}$ 对所有 $x$ 成立： $k = 1$ 时，每个 $2^{x}$ 都大于 $1$ ，成立，所以 $k \leq 1$ 。只要存在一个 $x$ 成立： $k = 2$ 时没有 $2^{x}$ 大于 $2$ ，不成立，所以 $k < 2$ 。每次都把边界值代回原题判断。

换元后范围要跟着变

$x > 0$ 时 $t = 2^{x} > 1$ ； $x \in [0, 1]$ 时 $t \in [1, 2]$ 。参数不等式换元后，要在 $t$ 的真实范围内求最值，不能用全体正数。

最大最小分别算：两个幂相加

求 $h (t) = 2^{t} + 2^{1 - t}$ 在 $[0, 1]$ 上的范围。令 $u = 2^{t} \in [1, 2]$ ，则 $h = u + \frac{2}{u}$ 。作差： $h - 3 = \frac{( u - 1 ) ( u - 2 )}{u} \leq 0$ ， $u = 1$ 或 $2$ 时等于 $0$ ，即 $t = 0$ 或 $1$ ，所以最大值是 $3$ 。 $h - 22 = \frac{( u - 2 ) ^{2}}{u} \geq 0$ ， $u = 2$ 时等于 $0$ ，即 $t = \frac{1}{2}$ ，所以最小值是 $22$ 。于是“存在 $t$ 使 $h (t) \geq m$ ”就是 $m \leq 3$ ，“所有 $t$ 都有 $h (t) \geq m$ ”就是 $m \leq 22$ 。

先看一道例题

例 1：所有和存在对比

在 $x \in (0, 1)$ 上，(1) $k < 2^{x}$ 对所有 $x$ 成立；(2) 存在 $x$ 使 $k < 2^{x}$ 。分别求 $k$ 的范围。

怎么看出来：

同一个不等式，量词不同，看的边界不同。 $2^{x}$ 的两个边界都取不到，要代回判断。

解：

$2^{x}$ 严格递增， $x$ 从 $0$ 增大到 $1$ 时 $2^{x}$ 从 $1$ 增大到 $2$ ，端点取不到，所以取值是 $(1, 2)$ 。(1) 最不利的是接近 $1$ 的值。 $k = 1$ 时，每个 $2^{x} > 1$ ，成立； $k > 1$ 时，取 $x$ 很小， $2^{x} < k$ ，不成立。(2) 最有利的是接近 $2$ 的值。 $k = 2$ 时，没有 $2^{x} > 2$ ，不成立； $k < 2$ 时，取 $x$ 接近 $1$ 就成立。

答案：

(1) $k \leq 1$ ；(2) $k < 2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
“对任意 $x$ ”“恒成立”“恒正”	找最不利的 $x$ ；分离参数，求最小值或最大值
“存在 $x$ ”“有实数 $x$ 使”	找最有利的 $x$ ，方向和恒成立相反
区间是开的， $g (x)$ 的边界取不到	参数等于边界值时单独代回
$lo g_{a} g (x)$ 在某区间上恒正	分 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ ，后者要同时管上下两边（见进阶“底数含参，恒为正”）
方程只有一个根或两个根，含参数	写成 $k = g (x)$ ，在有效范围内数交点（见进阶“恰有几个根”）
$a^{t} + a^{c - t}$ 这样的两个幂相加	设 $u = a^{t}$ ，用作差分别算最大值和最小值

三、怎么用

写出输入的真实范围，换元后也要写出新变量的范围。例如在 $x \in [0, 1]$ 上要 $m \leq 2^{x}$ 对所有 $x$ 成立， $2^{x}$ 递增，范围是 $[1, 2]$ 。
分清量词：所有用最不利的值，存在用最有利的值，恰有几个根就数交点。这里是“所有”，最不利的是最小的 $2^{x}$ 。
能分离参数就分离，写成 $m$ 和 $g (x)$ 的比较；底数含参时先分类。这里已经分离好， $g (x) = 2^{x}$ 。
求 $g (x)$ 的最值或边界，并记下边界能否取到。这里最小值是 $1$ ，在 $x = 0$ 处取到。
把参数的边界值代回原题，再判断是否带等号。 $m = 1$ 时 $1 \leq 2^{x}$ 总成立； $m = 1.1$ 时 $x = 0$ 处不成立。所以 $m \leq 1$ 。如果改成“存在”，就看最大值，得 $m \leq 2$ 。

四、再做一道

例 2：换元后分离参数

$4^{x} - m \cdot 2^{x} + 1 > 0$ 对所有 $x > 0$ 成立，求 $m$ 的范围。

怎么看出来：

$t = 2^{x}$ 的范围是 $t > 1$ ，不是全体正数。 $t > 0$ 可以除过去，分离出 $m$ 。

解：

设 $t = 2^{x} > 1$ ，不等式变为 $m < t + \frac{1}{t}$ 。 $t + \frac{1}{t} - 2 = \frac{( t - 1 ) ^{2}}{t} > 0$ ，所以 $t > 1$ 时 $t + \frac{1}{t}$ 总大于 $2$ ，并能任意接近 $2$ ，但取不到。 $m = 2$ 时， $t + \frac{1}{t} > 2$ 总成立； $m > 2$ 时，取 $t$ 足够接近 $1$ 就不成立。

答案：

$m \leq 2$ 。

五、容易错在哪

“存在”和“恒成立”的方向相反，不要写反。
严格不等号不代表参数不能取边界值，边界取不到时等号可能可以取，要代回判断。
恰有一个根不等于判别式为零，可能是有两个代数根而只有一个在定义域内。
区间不包含端点时，接近的边界值不是最值，不要说它已经取到。
底数小于 $1$ 时，“对数大于 $0$ ”要同时要求真数大于 $0$ 和小于 $1$ 。

进阶：底数含参，恒为正

底数决定“对数大于 0”的含义

$lo g_{a} g (x) > 0$ 在 $a > 1$ 时是 $g (x) > 1$ ，在 $0 < a < 1$ 时是 $0 < g (x) < 1$ 。后者上下都要管，一个看 $g$ 的最小值，一个看 $g$ 的最大值。

例 3：底数含参，恒为正

$f (x) = lo g_{a} (a x - 1)$ 在 $[2, 3]$ 上恒为正，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

底数是字母，对数大于 $0$ 的意思要分两种情况； $a x - 1$ 是一次函数，只看两个端点。

解：

当 $a > 1$ ：需要 $a x - 1 > 1$ 对 $x \in [2, 3]$ 成立。 $a x - 1$ 递增，最小值在 $x = 2$ ， $2 a - 1 > 1$ 即 $a > 1$ ，这种情况下总成立。当 $0 < a < 1$ ：需要 $0 < a x - 1 < 1$ 。最小值 $2 a - 1 > 0$ 得 $a > \frac{1}{2}$ ；最大值 $3 a - 1 < 1$ 得 $a < \frac{2}{3}$ 。检查边界： $a = \frac{2}{3}$ 时 $x = 3$ 处真数为 $1$ ，对数为 $0$ ，不是正数； $a = \frac{1}{2}$ 时 $x = 2$ 处真数为 $0$ ，没有意义。

答案：

$\frac{1}{2} < a < \frac{2}{3}$ 或 $a > 1$ 。

进阶：恰有几个根

恰有一个根：在有效范围内数

解对数方程时，常先得到一个二次方程。它可能有 $2$ 个根，但只有 $1$ 个满足定义域，这也算恰有一个根。所以判别式等于 $0$ 只是其中一种情况。最稳妥的办法是把方程写成 $k = g (x)$ ，在有效范围内看水平线 $y = k$ 和 $g$ 的图像有几个交点。

例 4：恰有一个根

方程 $2 l g x = l g (x + k)$ 恰有一个实根，求 $k$ 的范围。

怎么看出来：

去掉对数得二次方程，但只有正根才有效。判别式为 $0$ 只是其中一种情况，所以在 $x > 0$ 上数交点。

解：

原式要求 $x > 0$ 且 $x + k > 0$ 。方程化为 $x^{2} = x + k$ 后，所得的正根满足 $x + k = x^{2} > 0$ ，第二条自动成立，所以只需在 $x > 0$ 上看 $k = x^{2} - x$ 。在 $x > 0$ 上， $x^{2} - x$ 从 $0$ 开始下降，到 $x = \frac{1}{2}$ 处取最小值 $- \frac{1}{4}$ ，再上升到无穷大。所以 $k = - \frac{1}{4}$ 时有 $1$ 个根， $- \frac{1}{4} < k < 0$ 时有 $2$ 个根。 $k = 0$ 时 $x = 1$ （ $x = 0$ 不在定义域内），有 $1$ 个根； $k > 0$ 时也有 $1$ 个根。 $k < - \frac{1}{4}$ 时没有根。

答案：

$k = - \frac{1}{4}$ 或 $k \geq 0$ 。

例 5：分两支数根

方程 $∣ lo g_{2} x ∣ = k$ 在 $(0, 8]$ 上恰有 $2$ 个实根，求 $k$ 的范围。

怎么看出来：

设 $s = lo g_{2} x$ ，绝对值把方程分成 $s = k$ 和 $s = - k$ 两支。 $x \leq 8$ 给 $s$ 加了上限，要看每支是否落在范围内。

解：

$x \in (0, 8]$ 对应 $s \leq 3$ ， $x$ 和 $s$ 一一对应。 $k < 0$ 时无根。 $k = 0$ 时两支重合为 $s = 0$ ，只有 $1$ 个根。 $k > 0$ 时， $s = - k < 0$ 总在范围内， $s = k$ 要求 $k \leq 3$ 。所以 $0 < k \leq 3$ 时有 $2$ 个根； $k > 3$ 时只有 $1$ 个根。端点： $k = 3$ 时 $x = 8$ 和 $x = \frac{1}{8}$ 都符合，因为 $x = 8$ 在区间内。

答案：

$0 < k \leq 3$ 。

进阶：碗形函数 · 先修：凸函数的图像

碗形函数的一般结论

$2^{t}$ 的图像向下弯成碗形（这样的函数叫凸函数），碗形函数相加还是碗形。碗形曲线上任何一段，中间都低于两端的连线，所以在闭区间上最大值在端点，最小值可能在里面。上面 $h (t)$ 的结果正是这样。

进阶：用导数看形状 · 先修：已学导数、自然对数 ln

用导数画出 g 的形状

导数 $g^{'}$ 为正的区间上 $g$ 递增，为负的区间上 $g$ 递减。例如 $g (x) = \frac{ln x}{x}$ ， $g^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ ，所以 $g$ 在 $(0, e)$ 上递增，在 $(e, + \infty)$ 上递减，最大值是 $g (e) = \frac{1}{e}$ 。

进阶：给定定义域 · 先修：连续函数

给定定义域也是量词问题

定义域恰好是 $(- \infty, 2]$ ，意思是 $x \leq 2$ 时都成立， $x > 2$ 时都不成立。例如 $1 + k \cdot 2^{x}$ ，端点处根号里等于 $0$ ： $1 + 4 k = 0$ ， $k = - \frac{1}{4}$ 。检查： $1 - \frac{1}{4} \cdot 2^{x} \geq 0$ 就是 $2^{x} \leq 4$ ，即 $x \leq 2$ 。

真题

按这个方法练 · 20 题

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比较幂、指数、对数的大小：先分组，再换同底，靠得近时用严格不等式

比大小不靠算小数。先和 $0, 1$ 比，分出大致的组；同组的换成同底或同指数；还分不开就找一个简单的分数搭桥。

完整讲解 · 例题 · 可练 18 题

一、是什么

先和 0、1 比

$lo g_{0.3} 2 < 0$ ，因为底数和真数在 $1$ 的两侧。 $0. 3^{2} = 0.09$ 在 $0$ 和 $1$ 之间。 $2^{0.3} > 1$ ，因为底数大于 $1$ ，指数为正。这样不用算具体值， $3$ 个数已经分开了。

同底看指数，同指数看底数

同底时看单调性： $a > 1$ 时指数越大，幂越大； $0 < a < 1$ 时反过来。同指数的正底幂， $c > 0$ 时底数越大，幂越大； $c < 0$ 时反过来； $c = 0$ 时都等于 $1$ 。例如 $0. 5^{0.3} > 0. 5^{0.4}$ ， $3^{0.5} > 2^{0.5}$ ， $3^{- 1} < 2^{- 1}$ 。

对数换同底，再比真数

$lo g_{27} 10 = \frac{1}{3} lo g_{3} 10$ ， $lo g_{9} 5 = \frac{1}{2} lo g_{3} 5$ 。比较 $2 lo g_{3} 10$ 和 $3 lo g_{3} 5$ ，也就是 $lo g_{3} 100$ 和 $lo g_{3} 125$ 。这样就变成比较 $100$ 和 $125$ ，不用算小数。和分数比较也一样： $lo g_{27} 10 > \frac{2}{3}$ 就是 $10 > 2 7^{2/3} = 9$ 。

先看一道例题

例 1：先分组

比较 $2^{0.3}, 0. 3^{2}, lo g_{0.3} 2$ 的大小。

怎么看出来：

类型各不相同，先和 $0, 1$ 比。

解：

$2^{0.3} > 2^{0} = 1$ 。 $0. 3^{2} = 0.09$ ，在 $0$ 和 $1$ 之间。底数 $0.3 < 1$ ，真数 $2 > 1$ ，所以 $lo g_{0.3} 2 < 0$ 。

答案：

$lo g_{0.3} 2 < 0. 3^{2} < 2^{0.3}$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
几个数类型不同，如指数、幂、对数混在一起	先和 $0, 1$ 比，分组
底数是同一个数的幂，如 $lo g_{27} 10, lo g_{9} 5$	换成底 $3$ ，化成比较真数的幂
两个对数底数不同，也换不成同底，如 $lo g_{2} 3, lo g_{3} 5$	找一个简单的分数搭桥，两边化成整数幂比较
$a^{b}$ 和 $b^{a}$	取 $ln$ ，比较 $\frac{ln x}{x}$ （见进阶“底和指数交换”）
$t^{t}$ 这样底数和指数相同	看 $t ln t$ ，以 $\frac{1}{e}$ 为分界（见进阶“自幂”）
几个数相差很小，如 $ln 1.1$ 和 $\frac{1}{10}$	用 $e^{t} > 1 + t$ 或 $ln (1 + t) < t$ ，不要算小数（见进阶“靠得很近”）

三、怎么用

每个数和 $0, 1$ 比较，分成几组。例如比较 $lo g_{0.5} 3, 0. 5^{0.4}, 0. 5^{0.3}, lo g_{3} 4, lo g_{4} 5$ ：第一个小于 $0$ ，第二、三个在 $0$ 和 $1$ 之间，后两个大于 $1$ 。
同组内能同底就同底，能同指数就同指数。 $0. 5^{y}$ 递减，所以 $0. 5^{0.4} < 0. 5^{0.3}$ 。
还分不开时找一个简单的分数搭桥，化成整数幂比较。 $lo g_{3} 4 > \frac{5}{4}$ 等价于 $4^{4} > 3^{5}$ ，即 $256 > 243$ ； $lo g_{4} 5 < \frac{5}{4}$ 等价于 $5^{4} < 4^{5}$ ，即 $625 < 1024$ 。
一对一对地比较相邻的数，最后连成完整的大小链： $lo g_{0.5} 3 < 0. 5^{0.4} < 0. 5^{0.3} < lo g_{4} 5 < lo g_{3} 4$ 。

四、再做一道

例 2：找中间数搭桥

比较 $lo g_{2} 3, lo g_{3} 5$ 的大小。

怎么看出来：

底数不同，也不是同一个数的幂，换不成同底。两个数都接近 $1.5$ ，就用 $\frac{3}{2}$ 搭桥。

解：

$lo g_{2} 3 > \frac{3}{2}$ 等价于 $3 > 2^{3/2}$ ，两边平方就是 $9 > 8$ ，成立。 $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}$ 等价于 $5 < 3^{3/2}$ ，两边平方就是 $25 < 27$ ，成立。所以 $lo g_{3} 5 < \frac{3}{2} < lo g_{2} 3$ 。

答案：

$lo g_{3} 5 < lo g_{2} 3$ 。

五、容易错在哪

底数小于 $1$ 时，指数越大，幂反而越小。
对数值的正负要同时看底数和真数，不能只看真数。
$t^{t}$ 不是处处单调的，跨过 $\frac{1}{e}$ 就不能直接比。
截断的小数不能当作证明，数字很接近时更要用严格的不等式。

进阶：底和指数交换 · 先修：已学导数、自然对数 ln

幂比较：同时取对数

$ln$ 是底为 $e$ 的对数（ $e \approx 2.718$ ），它递增，所以比较两个正数等于比较它们的 $ln$ 。比较 $a^{b}$ 和 $b^{a}$ （ $a, b > 0$ ）：相当于比较 $b ln a$ 和 $a ln b$ ，除以 $ab$ ，就是比较 $\frac{ln a}{a}$ 和 $\frac{ln b}{b}$ 。 $\frac{ln x}{x}$ 的导数是 $\frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ ，所以它在 $x > e$ 时递减。

例 3：底和指数交换

比较 $3^{π}$ 和 $π^{3}$ 的大小。

怎么看出来：

底和指数互换。取 $ln$ 后比较 $\frac{ln x}{x}$ ， $3$ 和 $π$ 都大于 $e$ 。

解：

设 $g (x) = \frac{ln x}{x}$ ， $g^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ ， $x > e$ 时为负， $g$ 递减。因为 $e < 3 < π$ ，所以 $\frac{ln 3}{3} > \frac{ln π}{π}$ 。两边乘 $3 π > 0$ ，得 $π ln 3 > 3 ln π$ ，即 $ln 3^{π} > ln π^{3}$ 。

答案：

$3^{π} > π^{3}$ 。

进阶：自幂 · 先修：已学导数、自然对数 ln

自幂 t 的 t 次方不是单调的

$t^{t}$ 取 $ln$ 是 $t ln t$ ，导数是 $ln t + 1$ 。所以 $0 < t < \frac{1}{e}$ 时递减， $t > \frac{1}{e}$ 时递增，最小值在 $t = \frac{1}{e}$ 处。跨过 $\frac{1}{e}$ 比较时，先找一个相等的值搭桥，例如 $0. 5^{0.5} = 0.2 5^{0.25}$ ，因为 $(\frac{1}{4})^{1/4} = (\frac{1}{2})^{1/2}$ 。

例 4：自幂跨过分界点

比较 $0. 1^{0.1}, 0. 2^{0.2}, 0. 5^{0.5}$ 的大小。

怎么看出来：

都是 $t^{t}$ ，但 $0.5$ 和前两个不在 $\frac{1}{e}$ 的同一侧，要先搭桥。

解：

$t^{t}$ 在 $0 < t < \frac{1}{e}$ 时递减。因为 $e < 4$ ，所以 $0.1 < 0.2 < 0.25 < \frac{1}{e}$ ，于是 $0. 1^{0.1} > 0. 2^{0.2} > 0.2 5^{0.25}$ 。又 $0.2 5^{0.25} = (0. 5^{2})^{0.25} = 0. 5^{0.5}$ 。

答案：

$0. 5^{0.5} < 0. 2^{0.2} < 0. 1^{0.1}$ 。

进阶：靠得很近 · 先修：已学导数、自然对数 ln

靠得很近：用能证明的不等式

$e^{t} \geq 1 + t$ ，只在 $t = 0$ 时取等号。原因： $φ (t) = e^{t} - 1 - t$ 的导数 $e^{t} - 1$ 在 $t < 0$ 时为负，在 $t > 0$ 时为正，所以 $φ$ 的最小值是 $φ (0) = 0$ 。取 $ln$ 后得 $ln (1 + t) \leq t$ （ $t > - 1$ ），也只在 $t = 0$ 时取等号。代入具体的 $t$ ，就得到严格的比较。

例 5：靠得很近

比较 $ln 1.1, \frac{1}{10}, \frac{1}{11}$ 的大小。

怎么看出来：

$3$ 个数都在 $0.09$ 和 $0.1$ 附近，用 $ln (1 + t) < t$ （ $t \neq = 0$ ）来证明，不算小数。

解：

取 $t = \frac{1}{10}$ ： $ln 1.1 < \frac{1}{10}$ 。取 $t = - \frac{1}{11}$ ： $ln \frac{10}{11} < - \frac{1}{11}$ ，而 $ln \frac{10}{11} = - ln 1.1$ ，所以 $ln 1.1 > \frac{1}{11}$ 。

答案：

$\frac{1}{11} < ln 1.1 < \frac{1}{10}$ 。

真题

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误区对照

容易误以为

$lo g_{1/3} (x - 1) > 1$ 可按递增函数处理，得到 $x > 4/3$ 。

应当这样想

底数 $1/3 \in (0, 1)$ 时对数严格递减，故原式等价于 $0 < x - 1 < 1/3$ ，即 $1 < x < 4/3$ 。例如 $x = 10/9$ 时对数为 $2 > 1$ ，而 $x = 4$ 时为 $- 1$ 。

为什么

先保留真数正性，再按底数区间决定比较方向；“底数是正数”不足以保证对数递增。

容易误以为

$lo g_{2} (x^{2}) = 2 lo g_{2} x$ 对一切 $x \neq = 0$ 成立，因为平方的真数总为正。

应当这样想

左边在 $x \neq = 0$ 有定义，右边还要求 $x > 0$ 。例如 $x = - 2$ 时左边为 $2$ ，右边在实数范围无定义。全非零域上的恒等式应写成 $lo g_{2} (x^{2}) = 2 lo g_{2} ∣ x ∣$ 。

为什么

运算法则不能扩大任一边的定义域；实对数的乘幂公式先要求用于取对数的底层真数为正。

容易误以为

由 $x^{l o g_{2} x} = 16$ 取对数得 $(lo g_{2} x)^{2} = 4$ ，因为 $x > 0$ ，所以只能取 $lo g_{2} x = 2$ 。

应当这样想

正数的对数可以为负。两支为 $lo g_{2} x = \pm 2$ ，得到 $x = 4$ 或 $x = 1/4$ ；后者有 $(1/4)^{- 2} = 16$ ，确为合法解。

为什么

真数为正不等于对数值非负；平方换元后必须保留全部落在对数值域 $R$ 内的根。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 175 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。