同一骨架 2023 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 3 题 · P007096
两题都要先把不同输入按“产生相同值”分组，再处理这些值之间的关系。重复的是输入还是输出必须分清；直接数输入，或只比较输入大小，都会把真正的条件弄错。
一题生成新集合，另一题比较组合数；它们都存在多个输入落到同一个值的现象。
培玉 · 一试
2024 年甘肃预赛
F2填空题集合与简易逻辑
定义集合 的运算：
若
则 的真子集的个数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先分别求出两个整数集合，再注意新运算中 只通过 影响结果，因此先对 中平方后的不同取值去重，最后计算所得集合的元素个数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
因为 在实数范围内严格递增，且 ，所以
结合 ，得
由分式不等式
可得 。结合 ，有
当 分别为 时， 的取值集合依次为
因此
共有 个元素。一个 元集合有 个子集，其中只有它本身不是真子集，故 真子集的个数为
复核
指数不等式的左端严格，故 不属于 ；右端取等，故 属于 。 分式不等式的零点 和无定义点 均不属于 。直接枚举所有 个有序对 ，所得不同值恰为从 到 的九个整数。
方法总结
集合新运算题先求清每个基础集合，并特别检查不等式端点和定义域。若运算式只依赖某个 中间量，如本题的 ，应先对中间量去重，再求并集；最后由集合基数套用子集计数公式。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先求两个小整数集，再按y²的三个不同值取并集，题面已给运算规则，后续为常规有限列举。
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同一骨架 2026 年广东预赛 · P005904
输入取相反数时可能产生同一个平方，因而真正需要统计的是中间量的不同取值，而不是原始参数的个数。先按这个中间量合并等价输入，再处理剩下的范围或集合运算。
一题用整数根参数化得到平方，另一题的新运算只依赖某个变量的平方；符号不同不一定给出新对象。
已记下，谢谢！