同一骨架 2013 年河南预赛 第 12 题 · P009701
把两条切线交点、接触弦和同一直线上的点，统一写进切点式的一次关系，复杂的共线与长度问题就能转为少量参数恒等式。由坐标关系恢复无向长度时，还须保留有效交点、方向和尺度。
前题用椭圆的半和角、半差角和归一化坐标，最终恢复同一竖线的距离平方；后题先识别抛物线接触弦的定点，再用交点参数的和、积证明长度乘积关系。
培玉 · 一试
2024 年甘肃预赛
F4解答题椭圆
已知椭圆
是椭圆上 轴同侧的两个点，分别过 作椭圆的两条切线交于点 ，且两切线分别与 轴交于点 。线段 与 交于点 。作 于点 ，线段 的反向延长线分别与 交于点 、与椭圆交于点 。
- (1)
求证： 三点共线；
- (2)
求证：。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
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想想一道相关的题
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思路
归一化是仿射坐标缩放，保留共线和平行；本题长度计算只在同一竖线上进行，所有纵向长度共享因子b。半和半差公式来自三角和差化积。
想法从哪来：两条切线与两条交叉连线交织时，先用椭圆参数角会比四个独立坐标节省变量。把横纵坐标各除以半轴，切线就与单位圆切线同形；两个参数的半和、半差又会自然出现在交点公式中。第一问只要证明交点横坐标相同，不必连距离都算出。第二问四段都在同一竖线上，展开平方后真正要证明的是一个纵坐标乘积等于另一纵坐标的平方。于是用弦方程算M、用椭圆方程算N，比逐段写绝对值再平方更直接。最后再乘回纵半轴，保留上、下半椭圆和交点存在的前提。
用椭圆参数表示 。切线的横截距、交点 、交叉连线的交点 都可显式求出；第一问归结为横坐标相同，第二问归结为同一竖线上的有向纵坐标恒等式。
解答
不妨设 位于 轴上方，并写成
令
点 处的切线分别为
因此
且两切线交点为
设 。在归一化坐标 中，直线 与 的方程可分别写成
两式相等给出
由（1）、（2）， 有相同横坐标；又 ，而 在 轴上，所以 为竖直线。故
下面仍用归一化纵坐标。由（1），
弦 的方程为
在 处，得到
竖线与椭圆的交点 满足
由（3）--（5）恰有
由于 在 轴上，四段长度都在同一竖线上，故
其中最后一步使用（6）。命题得证。
复核
在 轴同侧保证 ，所以（5）对应真实交点；若两点在下半椭圆，关于 轴反射后同一证明成立。长度平方不依赖 取竖线上的哪一个交点。
方法总结
两条椭圆切线及交叉弦结构适合用半和角、半差角参数化；把横、纵坐标分别归一化后，复杂距离恒等式会降为乘积关系。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须用半和半差参数同步表示切线交点与交叉弦交点，先证同横坐标，再把距离平方关系降成纵坐标乘积。
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