2025 年新疆预赛

解答

整数解中 $x,y,z$ 均不为零。原方程等价于

当 $|z|=1$ 时，（1）化为

即

枚举 $4$ 的六个整数因数，除去导致 $x=y=0$ 的因数 $-2$，得到

共 $5$ 对。$z=\pm 1$，故共有 $10$ 组。

当 $|z|\ge 2$ 时，（1）的右端大于 $1$。此时 $x,y$ 不可能有负数，也不可能同时不小于 $2$，故 $x,y$ 中恰有一个等于 $1$。不妨令 $x=1$，则

因 $z^2-2\ge 2$ 且必须整除 $4$，只能有 $z^2-2=2$，即 $z=\pm 2$，此时 $y=4$。交换 $x,y$ 后，每个 $z$ 有两组解，因此这一类共有 $4$ 组。

综上，整数解共有

组。