2024 年内蒙古预赛

解答

（1）当 $a=0$ 时，令

则 $H(0)=0$，且

故 $H$ 在 $(-4,0)$ 上递减、在 $(0,1/2)$ 上递增，因而 $H(x)\ge 0$。于是

等号仅在 $x=0$ 成立。所以 $f$ 在 $x=0$ 取得极大值 $0$。还须排除其他局部极值。直接求导得$f^{\prime }(x)=e^x-(1-2x{)}^{-2}$，其符号与 $G(x)=x+2\ln (1-2x)$相同。由于$G^{\prime }(x)=(-3-2x)/(1-2x)$，$G$在$(-4,-3/2)$递增， 在$(-3/2,1/2)$递减；又$G(-4)=2\ln 9-4>0$及$G(0)=0$，故$f^{\prime }$在$(-4,0)$为正、 在$(0,1/2)$为负。因此只有$x=0$一个极大值点，没有极小值点。

（2）在 $x=0$ 附近展开：

从而

若 $a>3/2$，二次项系数为正，$0$ 是严格极小值点；若 $a<3/2$ 则不是极小值点；若 $a=3/2$，首个非零项为 $\frac{2}{3}{x}^3$，两侧异号，也不是极值点。故