2025 年吉林预赛

双曲线焦点圆的三倍角与定点

F4解答题双曲线

已知双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{3 a ^{2}} = 1 (a > 0)

的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ 。 $P$ 是直线

l : x = \frac{a}{2}

上一点，且 $P$ 不在 $x$ 轴上。以点 $P$ 为圆心、线段 $PF$ 的长为半径的圆弧 $A F$ 交 $C$ 的右支于点 $N$ 。

（1）证明： $∠ A PN = 2∠ NPF$ ；

（2）取 $a = 1$ ，若直线 $PF$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $E, D$ 两点，过 $E$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $R$ 。试判断直线 $D R$ 是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F4（会透露解法方向）

第一问需从双曲线距离建立半径与弦长的三次关系并处理角分支；第二问独立借韦达消去另一交点，识别投影连线定点，完整题有多层结构判断。

用到的方法（会透露解法方向）